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| Aufgabe | | Sei [mm] (Omega,\mathcal{A}, [/mm] P) ein W-Raum und X integrierbar über P. Zeigen sie: [mm] E(X)^{2} \le E(X^{2}). [/mm] |
Hallo, ich habe eine Frage zu diesem Beweis. Ich bin mir unsicher, ob das so einfach geht.
[mm] E(X)^{2} [/mm] = [mm] E(X*1)^{2}
[/mm]
= [mm] (\integral_{}^{}{X*1 dP})^{2}, [/mm] aus der Definition Moment
[mm] \le (\integral_{}^{}{|X*1| dP})^{2}, [/mm] aus Integrationsregeln
[mm] \le (\integral_{}^{}{X^{2} dP})*(\integral_{}^{}{1^{2} dP}), [/mm] Schwarzsche Ungleichung
= [mm] E(X^{2})* [/mm] E(1), aus Definition Moment
= [mm] E(X^{2}), [/mm] Erwartungswert einer konstanten Funktion ist die Konstante.
Ich bin mir v.a. unsicher darüber, ob ich die konstante Funktion 1 einfach so einführen darf. Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A}, [/mm] P)$ ein W-Raum und X integrierbar
X muß quadratintegrierbar sein.
> über P. Zeigen sie: [mm]E(X)^{2} \le E(X^{2}).[/mm]
> Hallo, ich habe eine Frage zu diesem Beweis. Ich bin mir
> unsicher, ob das so einfach geht.
>
> [mm]E(X)^{2}[/mm] = [mm]E(X*1)^{2}[/mm]
> = [mm](\integral_{}^{}{X*1 dP})^{2},[/mm] aus der Definition
> Moment
> [mm]\le (\integral_{}^{}{|X*1| dP})^{2},[/mm] aus
> Integrationsregeln
Braucht's den Schritt überhaupt?
> [mm]\le (\integral_{}^{}{X^{2} dP})*(\integral_{}^{}{1^{2} dP}),[/mm]
> Schwarzsche Ungleichung
> = [mm]E(X^{2})*[/mm] E(1), aus Definition Moment
> = [mm]E(X^{2}),[/mm] Erwartungswert einer konstanten Funktion ist
> die Konstante.
>
Wenn ihr die CSU verwenden dürft (sonst beweisen), dann paßt das so.
> Ich bin mir v.a. unsicher darüber, ob ich die konstante
> Funktion 1 einfach so einführen darf.
Wieso nicht? Aber wenn Du willst, kannst Du's einen Schritt hinter verlegen:
[mm] $E(X)^{2}=$
[/mm]
[mm] $=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}$
[/mm]
[mm] $=\left(\ \integral_{\Omega\cap\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}$
[/mm]
[mm] $=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X*1_\Omega\ dP}\right)^{2}=\dots$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Sa 08.12.2007 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Blech,
> > Sei [mm](\Omega,\mathcal{A}, P)[/mm] ein W-Raum und X integrierbar
>
> X muß quadratintegrierbar sein.
Ist sie, habe ich nur nicht hingeschrieben. Sorry.
> >
> > [mm]E(X)^{2}[/mm] = [mm]E(X*1)^{2}[/mm]
> > = [mm](\integral_{}^{}{X*1 dP})^{2},[/mm] aus der Definition
> > Moment
> > [mm]\le (\integral_{}^{}{|X*1| dP})^{2},[/mm] aus
> > Integrationsregeln
>
> Braucht's den Schritt überhaupt?
Ja, bei uns lautet die Schwarzsche Ungleichung:
[mm] (\integral_{}^{}{|fg| dP})^{2} \le (\integral_{}^{}{f^{2} dP}) [/mm] * [mm] (\integral_{}^{}{g^{2} dP})
[/mm]
Ich habe noch nicht in ein anderes Buch geschaut, aber deiner Frage entnehme ich, dass es wohl auch Formulierungen gibt ohne den Betrag?
> > [mm]\le (\integral_{}^{}{X^{2} dP})*(\integral_{}^{}{1^{2} dP}),[/mm]
> > Schwarzsche Ungleichung
> > = [mm]E(X^{2})*[/mm] E(1), aus Definition Moment
> > = [mm]E(X^{2}),[/mm] Erwartungswert einer konstanten Funktion
> ist
> > die Konstante.
> Wieso nicht? Aber wenn Du willst, kannst Du's einen Schritt
> hinter verlegen:
>
> [mm]E(X)^{2}=[/mm]
> [mm]=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}[/mm]
> [mm]=\left(\ \integral_{\Omega\cap\Omega}^{}{X\ dP}\right)^{2}[/mm]
>
> [mm]=\left(\ \integral_{\Omega}^{}{X*1_\Omega\ dP}\right)^{2}=\dots[/mm]
Vielen Dank für die Korrektur und noch einen schönen Samstag.
Grüße, Steffen
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