Möchst größter Flächeninhalt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mo 18.07.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Ein Cocktailglas mit kegelförmiger Offnung hat das Volumen V [mm] =\bruch{\pi}{3}r^2h,Für [/mm] welchen Radius r und welche Höhe h erhält man bei gegebener Mantellinie s > 0 ein
möglichst großes Volumen? |
Guten Tag,
also da s>0 definiert ist, habe ich den Satz des Pytagoras benutzt und erstmal V in abhängigkeit der Höhe aufgestellt:
[mm] r=\wurzel{s^2-h^2}
[/mm]
[mm] V(h)=\bruch{\pi}{3}(s^2-h^2)h
[/mm]
Dann die Ableitung von V(h)=
[mm] V´(h)=\bruch{\pi}{3}(s^2-3h^2)
[/mm]
=0
[mm] h=\bruch{s}{\wurzel{3}}
[/mm]
Soweit alles verstanden und nun geht es weiter:
V(0)=0=V(s) und V(h) [mm] =\bruch{\pi}{3}*\bruch{2}{3}s^2*\bruch{s}{\wurzel{3}}>0
[/mm]
Ich weiß nicht wo das [mm] \bruch{2}{3}s^2 [/mm] herkommt. Die haben bei V(0) scheinbar das h gegen 0 laufen lassen und dann irgendwas in die ausgangsformel gesetzt, ich weiß aber nicht genau wie... kann mir da einer helfen?
|
|
| |
|
> Ein Cocktailglas mit kegelförmiger Offnung hat das Volumen
> V [mm]=\bruch{\pi}{3}r^2h[/mm]
> Für welchen Radius r und welche
> Höhe h erhält man bei gegebener Mantellinie s > 0 ein
> möglichst großes Volumen?
> Guten Tag,
>
> also da s>0 definiert ist, habe ich den Satz des Pytagoras
> benutzt und erstmal V in abhängigkeit der Höhe
> aufgestellt:
>
> [mm]r=\wurzel{s^2-h^2}[/mm]
> [mm]V(h)=\bruch{\pi}{3}(s^2-h^2)\,h[/mm]
>
> Dann die Ableitung von V(h)=
>
> [mm]V'(h)=\bruch{\pi}{3}(s^2-3h^2)[/mm]
> =0
> [mm]h=\bruch{s}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> Soweit alles verstanden und nun geht es weiter:
>
> V(0)=0=V(s) und
> [mm] V(h)\ =\ \bruch{\pi}{3}*\bruch{2}{3}s^2*\bruch{s}{\wurzel{3}}>0[/mm]
>
> Ich weiß nicht wo das [mm]\bruch{2}{3}s^2[/mm] herkommt.
... durch schlichtes Einsetzen von [mm] \bruch{s}{\wurzel{3}} [/mm] für $\ h$ in die
Volumenformel
$ [mm] V(h)=\bruch{\pi}{3}(s^2-h^2)\,h [/mm] $
(und ein bisschen vereinfachen)
> Die haben
> bei V(0) scheinbar das h gegen 0 laufen lassen und dann
> irgendwas in die ausgangsformel gesetzt, ich weiß aber
> nicht genau wie... kann mir da einer helfen?
Um V(0) zu berechnen, setzt man den Wert h=0 in die
Volumenformel ein (oder überlegt sich, wie dann das
"Kelchglas" aussehen würde.
Analog für V(s) .
LG Al-Chw.
|
|
|
|
