Moebiustransformation < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Do 23.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei
[mm] $T(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$ [/mm] mit [mm] $\alpha\delta-\beta\gamma\neq [/mm] 0$
Zeige:
[mm] $T(\IR\cup\{\infty\})=\IR\cup\{\infty\}\;\Longleftrightarrow\;\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\IR$ [/mm] |
Hallo,
[mm] $\Longleftarrow$: [/mm] Diese Richtung ist mir klar.
[mm] $\Longrightarrow$: [/mm] Sei o.E. [mm] $\gamma\in\IR$ [/mm] (Warum darf ich das ohne Einschraenkung annehmen?). Nach Voraussetzung gilt:
[mm] $T(z)=\overline{T(z)}$
[/mm]
Wir unterscheiden 2 Faelle:
1. Fall: [mm] $\gamma=0$
[/mm]
[mm] $\overline{T(z)}=\overline{\left(\frac{\alpha z+\beta}{\delta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}}{\overline{\delta}}=\frac{\alpha z +\beta}{\delta}=T(z)$
[/mm]
So wirklich zeigt dies aber nicht, dass [mm] $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\IR$ [/mm] gilt?!
2. Fall: [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$
Nachrechnen liefert
[mm] $1=\overline{T(z)}\cdot\frac{1}{T(z)}=\cdots=\frac{\overline{\alpha}\gamma z^2+\overline{\alpha}\delta z+\overline{\beta}\gamma z+\overline{\beta}\delta}{\alpha\overline{\gamma}z^2+\beta\overline{\gamma}z+\alpha\overline{\delta}z+\beta\overline{\delta}}$
[/mm]
Multiplikation mit dem Nenner liefert
[mm] $\overline{\alpha}\gamma z^2+(\overline{\alpha}\delta+\overline{\beta}\gamma)z+\overline{\beta}\delta=\alpha\overline{\gamma}z^2+(\beta\overline{\gamma}+\alpha\overline{\delta})z+\beta\overline{\delta}$
[/mm]
Wir erhalten die drei Bedingungen
1. [mm] $\overline{\alpha}\gamma=\alpha\overline{\gamma}$
[/mm]
2. [mm] $\overline{\alpha}\delta+\overline{\beta}\gamma=\beta\overline{\gamma}+\alpha\overline{\delta}$
[/mm]
3. [mm] $\overline{\beta}\delta=\beta\overline{\delta}$
[/mm]
Aus 1. folgt wegen [mm] $\gamma\in\IR$ [/mm] direkt [mm] $\overline{\alpha}=\alpha$ [/mm] und damit [mm] $\alpha\in\IR$. [/mm] Aber wie erhalte ich [mm] $\beta,\delta\in\IR$?
[/mm]
Danke und Gruss
|
|
| |
|
Hallo,
hast Du die Aufgabe vielleicht verkürzt wiedergegeben? Denn so wie sie formuliert ist, ist die Behauptung m. E. falsch; also kein Wunder, wenn wir den Beweis nicht verstehen.
Es ist doch für [mm] \alpha=\beta=\delta=i; \gamma=0 [/mm] T(z)=z+1, also sicher
[mm]T(\IR\cup\{\infty\})=\IR\cup\{\infty\}\;[/mm]
aber [mm] \alpha,\beta,\delta\notin\IR
[/mm]
Soll es vielleicht heißen:..... dann kann [mm] \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\IR [/mm] gewählt werden?
Darüber könnte man nachdenken.
Gruß korbinian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> hast Du die Aufgabe vielleicht verkürzt wiedergegeben?
> Denn so wie sie formuliert ist, ist die Behauptung m. E.
> falsch; also kein Wunder, wenn wir den Beweis nicht
> verstehen.
> Es ist doch für [mm]\alpha=\beta=\delta=i; \gamma=0[/mm] T(z)=z+1,
> also sicher
>
> [mm]T(\IR\cup\{\infty\})=\IR\cup\{\infty\}\;[/mm]
> aber [mm]\alpha,\beta,\delta\notin\IR[/mm]
Genau.
> Soll es vielleicht heißen:..... dann kann
> [mm]\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\IR[/mm] gewählt werden?
Das soll es ganz bestimmt heissen, denn damit waer die Aufgabe loesbar :)
Also etwas genauer (fuer den wen's interessiert): man kann eine Aktion von [mm] $GL_2(\IC)$ [/mm] auf [mm] $\IC \cup \{ \infty \} [/mm] = [mm] \mathbb{P}^1(\IC)$ [/mm] (projektive Gerade ueber [mm] $\IC$) [/mm] definieren durch [mm] $\left(\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }, z \right) \mapsto \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta}$.
[/mm]
Man sieht aber schnell, dass $A$ und [mm] $\lambda [/mm] A$, [mm] $\lambda \in \IC^\ast$ [/mm] gleich auf [mm] $\IC \cup \{ \infty \}$ [/mm] agieren. Insofern kann man alle Vielfachen einer Matrix identifizieren, also [mm] $GL_2(\IC)$ [/mm] durch [mm] $GL_2(\IC) [/mm] / [mm] \IC^\ast$ [/mm] ersetzen. Aber dies ist gerade [mm] $PGL_1(\IC)$.
[/mm]
So. Und die Aufgabe sagt jetzt im Prinzip: die Elemente aus [mm] $PGL_1(\IC)$, [/mm] die auf [mm] $\mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] operieren (also die sich darauf einschraenken lassen), sind genau die Elemente aus [mm] $PGL_1(\IR)$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Do 23.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
das Gegenbeispiel ist mir absolut einleuchtend. Der Vollständigkeit halber gebe ich die Aufgabe mal wortwörtlich wieder.
Man zeige, dass [mm] $Tz:=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$ [/mm] genau dann [mm] $\IR\cup\{\infty\}$ [/mm] in sich überführt, wenn die Koeffizienten [mm] $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ [/mm] reell sind.
Ich persönlich war der Meinung das dort bereits die Bedingung
[mm] $\alpha\delta-\gamma\beta\neq [/mm] 0$
fehlte. Ansonsten dürfte meine Interpretation dieser Aufgabe mit der Aufgabe übereinstimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> das Gegenbeispiel ist mir absolut einleuchtend. Der
> Vollständigkeit halber gebe ich die Aufgabe mal
> wortwörtlich wieder.
>
> Man zeige, dass [mm]Tz:=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}[/mm]
> genau dann [mm]\IR\cup\{\infty\}[/mm] in sich überführt, wenn die
> Koeffizienten [mm]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/mm] reell sind.
>
> Ich persönlich war der Meinung das dort bereits die
> Bedingung
>
> [mm]\alpha\delta-\gamma\beta\neq 0[/mm]
>
> fehlte.
Ja, das fehlt. Wenn das naemlich gleich 0 ist, kuerzt sich der Bruch schoen weg und es bleibt eine Konstante. Was ziemlich langweilig ist.
Ansonsten fehlt halt noch dass ein Vielfaches der [mm] $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] sein soll, um auch das Gegenbeispiel von korbinian zu beruecksichtigen. Wenn man das beides noch hinzufuegt, dann stimmt die Aufgabe endlich :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 23.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Felix,
zunächst einmal herzlichen Glückwunsch zur bestandenen Dissertation.
> Ja, das fehlt. Wenn das naemlich gleich 0 ist, kuerzt sich
> der Bruch schoen weg und es bleibt eine Konstante. Was
> ziemlich langweilig ist.
>
> Ansonsten fehlt halt noch dass ein Vielfaches der [mm]\alpha, \beta, \gamma, \delta[/mm]
> in [mm]\IR[/mm] sein soll, um auch das Gegenbeispiel von korbinian
> zu beruecksichtigen. Wenn man das beides noch hinzufuegt,
> dann stimmt die Aufgabe endlich :)
Ich hoffe, das ich Dich richtig verstehe. Die Aufgabe sollte wie folgt formuliert werden:
Sei [mm] $T(z):=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$ [/mm] mit [mm] $\alpha\delta-\gamma\beta\neq [/mm] 0$ und [mm] $k\alpha,k\beta,k\gamma,k\delta\in\IR$ [/mm] für jedes [mm] $k\in\IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $T(\IR\cup\{\infty\})\IR\cup\{\infty\}\;\Longleftrightarrow\;\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\IR$
[/mm]
Ohne diese von Dir genannte zusätzliche Bedingung gilt also nur eine Richtung. Okay, nehmen wir einmal Deine Bedingung zusätzlich an, wie führe ich dann die 3 Bedingungen in meinem Beweis auf [mm] $\alpha,\beta,\delta\in\IR$?
[/mm]
> LG Felix
>
Gruss Denny
|
|
|
| |
|
Hallo Denny22,
ich vermute die Aufgabe sollte heißen:
Sei [mm]T(z):=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}[/mm] mit
[mm]\alpha\delta-\gamma\beta\neq 0[/mm]
Dann gilt:
[mm]T(\IR\cup\{\infty\})=\IR\cup\{\infty\}\;\Longleftrightarrow\ [/mm] es gibt [mm]\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\IR[/mm] in der Darstellung von T.
Nun zu Deinem 1. Beweis:
[mm] \gamma [/mm] o.E. reell; falls nicht erweitere mit [mm] \overline{\gamma}
[/mm]
Gruß korbinian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 23.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Sei [mm] $\gamma\in\IR$. [/mm] Dann folgt aus der ersten Eigenschaft [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] (insofern [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$ gilt). Aber wie erhalte ich nun [mm] $\beta,\delta\in\IR$?
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny!
> Sei [mm]\gamma\in\IR[/mm]. Dann folgt aus der ersten Eigenschaft
> [mm]\alpha\in\IR[/mm] (insofern [mm]\gamma\neq 0[/mm] gilt).
Wie genau machst du das?
Also den Fall [mm] $\gamma [/mm] = 0$ kann man ja schnell abhandeln: in dem Fall ist $T(z) = [mm] \frac{\alpha}{\delta} [/mm] z + [mm] \frac{\beta}{\delta}$, [/mm] und durch einsetzen von 0 und dann 1 (oder irgendwas anderes ungleich 0) bekommst du [mm] $\frac{\alpha}{\delta}, \frac{\beta}{\delta} \in \IR$.
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{\alpha}{\delta}, \frac{\beta}{\delta}, \frac{\gamma}{\delta}, \frac{\delta}{\delta} \in \IR$ [/mm] und $T(z) = [mm] \frac{\frac{\alpha}{\delta} z + \frac{\beta}{\delta}}{\frac{\gamma}{\delta} z + \frac{\delta}{\delta}}$.
[/mm]
Also kannst du [mm] $\gamma \neq [/mm] 0$ fordern. Indem du alles durch [mm] $\gamma$ [/mm] teilst veraenderst du die Funktion nicht, kannst aber [mm] $\gamma [/mm] = 1$ annehmen. Also hast du $T(z) = [mm] \frac{\alpha z + \beta}{z + \delta}$ [/mm] mit [mm] $\alpha \delta \neq \beta$.
[/mm]
Wenn du wieder $z = 0$ einsetzt bekommst du [mm] $\frac{\beta}{\delta} \in \IR$ [/mm] -- falls [mm] $\delta \neq [/mm] 0$, ansonsten ist es ein Pol. (Aber wenn [mm] $\delta [/mm] = 0$ ist, dann hast du $T(z) = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta z^{-1}$, [/mm] und du kannst etwa $z = 1$, $z = 2$ einsetzen und nach [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] aufloesen).
Jetzt kannst du das ganze ableiten: da fuer reelle Parameter reelle Zahlen herauskommen, muss die Ableitung fuer reelle Zahlen auch wieder reell sein. Damit solltest du sehr schnell auf [mm] $\delta \in \IR$ [/mm] kommen (und damit auch [mm] $\beta \in \IR$). [/mm] Damit hast du dann [mm] $\beta, \gamma, \delta \in \IR$; [/mm] wenn du jetzt noch irgendein $z$ einsetzt (welches kein Pol ist) bekommst du auch sofort [mm] $\alpha \in \IR$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Do 23.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Felix
> > Sei [mm]\gamma\in\IR[/mm]. Dann folgt aus der ersten Eigenschaft
> > [mm]\alpha\in\IR[/mm] (insofern [mm]\gamma\neq 0[/mm] gilt).
>
> Wie genau machst du das?
Wegen [mm] $T(\IR\cup\{\infty\})=\IR\cup\{\infty\}$ [/mm] gilt doch [mm] $T(z)=\overline{T(z)}$. [/mm] Damit erhalten wir
$ [mm] 1=\frac{T(z)}{T(z)}=\frac{\overline{T(z)}}{T(z)}=\frac{\frac{\overline{(\alpha z+\beta)}}{\overline{(\gamma z+\delta)}}}{\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}}=\frac{\overline{(\alpha z+\beta)}(\gamma z+\delta)}{\overline{(\gamma z+\delta)}(\alpha z+\beta)}=\frac{(\overline{\alpha}\cdot\overline{z}+\overline{\beta})(\gamma z+\delta)}{(\overline{\gamma}\cdot\overline{z}+\overline{\delta})(\alpha z+\beta)}\overset{z\in\IR\cup\{\infty\}}{=}\frac{(\overline{\alpha}\cdot z+\overline{\beta})(\gamma z+\delta)}{(\overline{\gamma}\cdot z+\overline{\delta})(\alpha z+\beta)}=\frac{\overline{\alpha}\gamma z^2+\overline{\alpha}\delta z+\overline{\beta}\gamma z+\overline{\beta}\delta}{\alpha\overline{\gamma}z^2+\beta\overline{\gamma}z+\alpha\overline{\delta}z+\beta\overline{\delta}} [/mm] $
Nun die Multiplikation mit dem Nenner
$ [mm] \overline{\alpha}\gamma z^2+(\overline{\alpha}\delta+\overline{\beta}\gamma)z+\overline{\beta}\delta=\alpha\overline{\gamma}z^2+(\beta\overline{\gamma}+\alpha\overline{\delta})z+\beta\overline{\delta} [/mm] $
und wir erhalten
(1) $ [mm] \overline{\alpha}\gamma=\alpha\overline{\gamma} [/mm] $
(2) $ [mm] \overline{\alpha}\delta+\overline{\beta}\gamma=\beta\overline{\gamma}+\alpha\overline{\delta} [/mm] $
(3) $ [mm] \overline{\beta}\delta=\beta\overline{\delta} [/mm] $
Im Falle [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$ und [mm] $\gamma\in\IR$ [/mm] erhalten wir aus (1) dann [mm] $\alpha=\overline{\alpha}$, [/mm] also [mm] $\alpha\in\IR$.
[/mm]
Gruß
Edit: Danke nochmal für Deine Antwort. Ich werde sie dann mal in Ruhe durchgehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny,
> zunächst einmal herzlichen Glückwunsch zur bestandenen
> Dissertation.
danke danke! Spricht sich das schon so schnell rum? *wunder*
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 23.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ich habe mal nach Deinem Namen gegoogelt und auf deiner Homepage unter Publikationen nachgesehen 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe mal nach Deinem Namen gegoogelt und auf deiner
> Homepage unter Publikationen nachgesehen
Aso :) Google mal wieder... ;)
LG Felix
|
|
|
|
