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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm] \IR[x] [/mm] - Moduln dasselbe sind wie Paare [mm] (V,\mu) [/mm] aus einem [mm] \IR [/mm] - Vektorraum V zusammen mit einem Endomorphismus [mm] \mu :V\toV. [/mm] |
IR[x]-Moduln sind doch Polynome eines Mudoln (was so etwas aehnliches ist wie vektorraeume) und das soll das selbe sein wie paare eines vektorraums? das verstehe ich nicht. muss ich hierzu irgendwie zeiegn, dass in moduln dieselebn rechenregeln gelten wie in vektorraeumen, auf dieses beispiel bezogen, oder was? ahh, hilfe, ich verstehe ueberhaupt nichts mehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 25.06.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Nora!
> Zeigen sie, dass [mm]\IR[x][/mm] - Moduln dasselbe sind wie Paare
> [mm](V,\mu)[/mm] aus einem [mm]\IR[/mm] - Vektorraum V zusammen mit einem
> Endomorphismus [mm]\mu :V\toV.[/mm]
> IR[x]-Moduln sind doch Polynome
[mm] \IR[x] [/mm] ist der Ring der Polynome in der Unbestimmten x mit Koeffizienten aus [mm] \IR, [/mm] also genau das, was man sich darunter vorstellt mit den Rechenregeln, die man kennt.
Ein Modul ist eine kommutative Gruppe, auf der ein Ring operiert, während bei einem Vektorraum ein Körper operiert. die Rechenregeln sind i. a. dieselben, aber die Verhältnisse sind komplizierter. Moduln haben z. B. nicht immer eine Basis.
> eines Mudoln (was so etwas aehnliches ist wie vektorraeume)
> und das soll das selbe sein wie paare eines vektorraums?
Hier ist der Ring [mm] \IR[x], [/mm] der den Körper [mm] \IR [/mm] enthält. Die abelsche Gruppe ist in beiden Fällen V. Da V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist, ist die Operation von [mm] \IR [/mm] auf V gegeben. Um aus V einen [mm] \IR[x]-Modul [/mm] zu machen, muß ich sagen, wie x operieren soll. Wenn ich [mm] \mu [/mm] habe, soll x wie [mm] \mu [/mm] operieren: x*v := [mm] \mu(v). [/mm] Und umgekehrt: Wenn ich die Operation von x habe, dann liefert mir diese Operation eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abb. von V.
> das verstehe ich nicht. muss ich hierzu irgendwie zeiegn,
> dass in moduln dieselebn rechenregeln gelten wie in
> vektorraeumen, auf dieses beispiel bezogen, oder was? ahh,
> hilfe, ich verstehe ueberhaupt nichts mehr.
Die Lösung der Aufg. besteht einfach darin, das Ganze ordentlich (in Mathe-Sprech) hinzuschreiben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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