Moduln < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 09.04.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Se R Ring und sei M Links - R Modul. Zeigen Sie, dass für einen Links-R-Untermodul U von M gilt:
a) Ist M endlich erzeugt so auch M/U
b) Sind U, M/U endlich erzeugt, so auch M
c) Ist R Körper, so gilt in b) die Umkehrung, d.h. M ist endlich erzeugt, genau dann, wenn U und M/U endlich erzeugt sind. |
Was genau ist der Unterschied zwischen M/U (sagt man U von M?) und U ?
Muss ich die Untermodulkriterien durchrechnen und wenn ja, wie zeige ich die genau, vor allem für c). ODer funktioniert es auch über homomorphe bzw. isomorphe Abb - wenn ja, wie muss ich das aufschreiben?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 10.04.2007 | | Autor: | comix |
zu a) Verwende den "natürlichen" Homomorphismus
[mm] \nu: [/mm] M [mm] \to [/mm] M/U
m [mm] \mapsto [/mm] m+U
(M/U = {m+U| m [mm] \in [/mm] M})
zu b) Da U und M/U endlich erzeugt sind, nimmst Du jeweils ein Erzeugendensystem und siehst Dir an, ob Du "irgendwie" eine Erzeugendensystem für M hinkriegst. Dabei hilft Dir vielleicht folgende kurze exakte Folge:
0 [mm] \to [/mm] U [mm] \to [/mm] M [mm] \to [/mm] M/U [mm] \to [/mm] 0 (Das Bild einer Abbildung ist der Kern der folgenden Abbildung, insbesondere sind hier die ersten beiden Homomrphismen injektiv, die letzten zwei sind surjektiv)
zu c) Wenn R ein Körper ist, dann ist ein Modul ein Vektorraum. Da brauchst Du nur dein Wissen über Untervektorräume rauskramen (Stichwort Dimension).
Ich hoffe, die Tipps bringen Dich etwas weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mi 11.04.2007 | | Autor: | matt57 |
Vielen Dank, ich mache mich gleich an die Arbeit - schwierig wird es für mich immer, wenn ich mathematisch formulieren soll.
Aber die Tipps werden helfen!
Grüße
Matthias
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