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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Def. Modul: Sei $R$ ein Ring mit Eins. Ist $M$ eine additive abelsche Gruppe, so nennt man $M$ einen $R-Modul$, wenn es eine Abbildung $R$ [mm] \times$M$ \to$M$, [/mm] $(r,m)$ [mm] \mapsto$rm$ [/mm] gibt, welche die folgenden Axiome erfüllt:
1. [mm] $(m_1+m_2)r [/mm] = m_1r + m_2r$
2. [mm] $m(r_1+r_2) [/mm] = [mm] mr_1 [/mm] + [mm] mr_2$
[/mm]
3. [mm] $m(r_1r_2) [/mm] = [mm] (mr_1)r_2$
[/mm]
4. $m1 = m$ |
Hallo,
ich habe Probleme mit dem Begriff des Moduls. Die Definition habe ich zwar verstanden, aber bei konkreten Beispielen kann ich einfach nicht rauslesen, wie diese Abbildung aussehen soll.
Bei [mm] \IZ/3\IZ [/mm] als [mm] \IZ-Modul [/mm] wäre ja M = {0,1,2} die abelsche Gruppe zusammen mit der Addition Modulo 3, richtig? Und die Abbildung, die das ganze zu einem Modul macht wäre z.B. die Multiplikation Modulo 3, auch richtig? Jedenfalls konnte ich auf diese Weise die geforderten Axiome nachrechnen.
Aber wie sieht das Ganze zum Beispiel bei [mm] \IQ [/mm] als [mm] \IZ-Modul [/mm] aus? Wie sieht hier die Verknüpfung aus?
Ein anderes Beispiel wäre [mm] \IZ[x] [/mm] als [mm] \IZ-Modul. [/mm] Auch hier kenne ich die Verknüpfung nicht.
Wäre sehr nett, wenn mir das jemand anhand der zwei Beispiele demonstrieren könnte.
Viele Grüße
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> Def. Modul: Sei [mm]R[/mm] ein Ring mit Eins. Ist [mm]M[/mm] eine additive
> abelsche Gruppe, so nennt man [mm]M[/mm] einen [mm]R-Modul[/mm], wenn es eine
> Abbildung [mm]R[/mm] [mm]\times[/mm] [mm]M[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]M[/mm], [mm](r,m)[/mm] [mm]\mapsto[/mm] [mm]rm[/mm] gibt, welche
> die folgenden Axiome erfüllt:
> 1. [mm](m_1+m_2)r = m_1r + m_2r[/mm]
> 2. [mm]m(r_1+r_2) = mr_1 + mr_2[/mm]
>
> 3. [mm]m(r_1r_2) = (mr_1)r_2[/mm]
> 4. [mm]m1 = m[/mm]
>
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> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit dem Begriff des Moduls. Die
> Definition habe ich zwar verstanden, aber bei konkreten
> Beispielen kann ich einfach nicht rauslesen, wie diese
> Abbildung aussehen soll.
>
> Bei [mm]\IZ/3\IZ[/mm] als [mm]\IZ-Modul[/mm] wäre ja M = {0,1,2} die
> abelsche Gruppe
Hallo,
laß uns der Deutlichkeit halber schreiben [mm] M:=\{\overline{0},\overline{1}, \overline{2}\}, [/mm] damit wir uns nicht der Illusion hingeben, daß die Elemente von M natürliche Zahlen sind.
> zusammen mit der Addition Modulo 3,
Genau.
[mm] \overline{a}+_3 \overline{b}:=\overline{a+b}.
[/mm]
+_3 steht für die Addition in [mm]\IZ/3\IZ[/mm], + für die in [mm] \IZ, [/mm] was aber nichts mit dem [mm] \IZ-Modul [/mm] zu tun hat.
> richtig? Und die Abbildung, die das ganze zu einem Modul
> macht wäre z.B. die Multiplikation Modulo 3, auch richtig?
Hmmmm - nicht ganz.
Die Multiplikation mod 3 verknüpft ja Restklassen miteinander.
Im [mm] \IZ-Modul[/mm] [mm]\IZ/3\IZ[/mm] jedoch haben wir eine Multiplikation von Elementen aus [mm] \IZ [/mm] mit Restklassen.
(Denk an die Multiplikation mit Skalaren im [mm] \IR- [/mm] VR [mm] \IR^3. [/mm] Auch bei dieser Multiplikation werden ganz verschiedene Objekte, nämlich Zahlen mit Spalten, verknüft, und ebenso verschieden sind auch die Elemente von [mm] \IZ [/mm] und [mm]\IZ/3\IZ[/mm] - auch wenn man es ihnen nicht sofort ansieht.)
Die Multiplikation ist so:
[mm] n\odot \overline{a}:= \overline{n*a} (=\overline{n}*_3\overline{a})
[/mm]
Sie ist mithilfe der Multiplikation der Restklassen definiert, aber es ist falsch zu sagen, daß es sich um dieselbe Multiplikation handelt.
> Jedenfalls konnte ich auf diese Weise die geforderten
> Axiome nachrechnen.
>
> Aber wie sieht das Ganze zum Beispiel bei [mm]\IQ[/mm] als [mm]\IZ-Modul[/mm]
> aus? Wie sieht hier die Verknüpfung aus?
So:
[mm] \bruch{p}{q}\odot z:=\bruch{p}{q}*\bruch{z}{1},
[/mm]
also mithilfe der Multiplikation in [mm] \IQ.
[/mm]
> Ein anderes Beispiel wäre [mm]\IZ[x][/mm] als [mm]\IZ-Modul.[/mm] Auch hier
> kenne ich die Verknüpfung nicht.
[mm] a*\summe_{k=0}^na_kx^k:=\summe_{k=0}^n(a*a_k)x^k
[/mm]
Alles Sachen, die man ohne groß drüber nachzudenken in der Schule schon getan hat.
LG Angela
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> Wäre sehr nett, wenn mir das jemand anhand der zwei
> Beispiele demonstrieren könnte.
>
> Viele Grüße
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