Modellieren von Ereignissen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo leute,
ich habe da ein problem und zwar kann ich mir nichts unter der mengenschreibweise so wie sie da steht vorstellen bzw. wieso so ist wie sie ist.
permutation ohne wiederholung:
Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈ {1,...,n},∀ i != j : ωi!= ωj}
kombination mit wiederholung:
Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈ {1,...,n},∀ i < j : ωi ≤ ωj}
kombination ohne wiederholung:
Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈ {1,...,n},∀ i < j : ωi < ωj}
wieso ungleich, wieso kleiner gleich, wie kann man sich das mit den i's und j's vorstellen und mit dem $ [mm] w_i's [/mm] $ und $ [mm] w_j's. [/mm] $
ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen das zu entschlüsseln und zu verstehen, wieso diese Schreiben genau das widerspiegeln.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Do 06.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MatheMario!
Nehmen wir mal das Beispiel $n=3$, $k=2$:
> permutation ohne wiederholung:
Die Menge der Permutationen von [mm] $1,\ldots,n$ [/mm] der Länge $k$ ist gegeben durch
> Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈
> {1,...,n},∀ i != j : ωi!= ωj}
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\forall i,j\in\{1,2\}\colon\omega_i,\omega_j\in\{1,2,3\},\forall i\not=j\colon \omega_i\not=\omega_j\}$
[/mm]
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\omega_1,\omega_2\in\{1,2,3\},\omega_1\not=\omega_2\}$
[/mm]
[mm] $=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}$.
[/mm]
> wieso ungleich,
Weil es um Permutationen OHNE WIEDERHOLUNG geht. Beispielsweise $(1,1)$ soll keine Permutation ohne Wiederholung sein.
> kombination ohne wiederholung:
> Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈
> {1,...,n},∀ i < j : ωi < ωj}
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\forall i,j\in\{1,2\}\colon\omega_i,\omega_j\in\{1,2,3\},\forall i
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\omega_1,\omega_2\in\{1,2,3\},\omega_1<\omega_2\}$
[/mm]
[mm] $=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$.
[/mm]
Während bei den Permutationen (ohne Wiederholung) z.B. zwischen $(1,2)$ und $(2,1)$ unterschieden wird, gibt es bei den Kombinationen nur ein entsprechendes Element $(1,2)$.
Einfachere Schreibweise für beliebige $k$ und $n$:
[mm] $\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_k)\;|\;\omega_1,\ldots,\omega_k\in\{1,\ldots,n\},\omega_1<\omega_2<\ldots<\omega_k\}$.
[/mm]
> kombination mit wiederholung:
> Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈
> {1,...,n},∀ i < j : ωi ≤ ωj}
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\forall i,j\in\{1,2\}\colon\omega_i,\omega_j\in\{1,2,3\},\forall i
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\omega_1,\omega_2\in\{1,2,3\},\omega_1\le\omega_2\}$
[/mm]
[mm] $=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\}$.
[/mm]
Einfachere Schreibweise für beliebige $k$ und $n$:
[mm] $\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_k)\;|\;\omega_1,\ldots,\omega_k\in\{1,\ldots,n\},\omega_1\le\omega_2\le\ldots\le\omega_k\}$.
[/mm]
> wieso kleiner gleich
Da man bei Kombinationen nicht zwischen verschiedenen Reihenfolgen (z.B. $(1,2)$ und $(2,1)$) unterscheiden möchte, lässt man nur eine Reihenfolge (im Beispiel $(1,2)$) als Kombination zu. Dazu bietet sich eine aufsteigende Reihenfolge an. (Man hätte aber genauso gut z.B. eine absteigende Reihenfolge wählen können.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo tobit09, vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe da einige Fragen:
- Was ist mit deinen i und j passiert? also die zweite Gleichung von dir, da hast du sie einfach weggelassen
- Wieso wird bei einer Mengendefinition i ungleich j verwendet und bei den anderen i < j ?
- Wenn "i < j : ωi ≤ ωj" gilt, wie kommst du dann auf das Tupel (1,1)?
Ich meine i ist z.B. 1 und j ist z.B. 2, aber wie kann es sein das man den Fall
ωi = ωj bekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 06.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> - Was ist mit deinen i und j passiert? also die zweite
> Gleichung von dir, da hast du sie einfach weggelassen
Du meinst z.B. folgende Gleichung?
[mm] $\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\forall i,j\in\{1,2\}\colon\omega_i,\omega_j\in\{1,2,3\},\forall i\not=j\colon \omega_i\not=\omega_j\}$
[/mm]
[mm] $=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\omega_1,\omega_2\in\{1,2,3\},\omega_1\not=\omega_2\}$
[/mm]
Zu zeigen ist also:
[mm] $\forall i\not=j\colon\omega_i\not=\omega_j$ [/mm] (d.h. [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_k$ [/mm] sind paarweise verschieden)
gilt (in unserem Falle mit $k=2$) genau dann, wenn
[mm] $\omega_1\not=\omega_2$.
[/mm]
(Beachte, dass mit [mm] "$\forall i\not=j$" [/mm] eigentlich gemeint ist: [mm] "$\forall i,j\in\{1,2\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$".)
[/mm]
Hin-Richtung:
Wenn für alle [mm] $i\not=j$ [/mm] die Bedingung [mm] $\omega_i\not=\omega_j$ [/mm] gilt, gilt sie insbesondere für $i=1$ und $j=2$.
Also [mm] $\omega_1\not=\omega_2$, [/mm] was bei der Hin-Richtung zu zeigen war.
Rück-Richtung:
Gelte [mm] $\omega_1\not=\omega_2$. [/mm] (*)
Um [mm] $\forall i\not=j\colon \omega_i\not=\omega_j$ [/mm] zu zeigen, seien [mm] $i,j\in\{1,2\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\omega_i\not=\omega_j$.
[/mm]
1. Fall: $i=1$.
Dann muss wegen [mm] $j\in\{1,2\}$ [/mm] mit [mm] $1=i\not=j$ [/mm] notwendigerweise $j=2$ gelten.
Also ist [mm] $\omega_1\not=\omega_2$ [/mm] zu zeigen.
Das liefert uns aber (*).
2. Fall: $i=2$
Dann muss wegen [mm] $j\in\{1,2\}$ [/mm] mit [mm] $2=i\not=j$ [/mm] notwendigerweise $j=2$ gelten.
Also ist [mm] $\omega_2\not=\omega_1$ [/mm] zu zeigen.
Dies folgt aber direkt aus (*).
Damit ist die behauptete Äquivalenz bewiesen.
> - Wieso wird bei einer Mengendefinition i ungleich j
> verwendet und bei den anderen i < j ?
(Man hätte auch in beiden Fällen $i<j$ verwenden können.)
Die Bedingung
[mm] $\forall i\not=j\colon \omega_i\not=\omega_j$
[/mm]
(oder auch in äquivalenter Weise
[mm] $\forall i
drückt aus, dass [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_k$ [/mm] paarweise verschieden sind, also dass kein Wert mehrfach unter [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_k$ [/mm] auftritt.
Die Bedingung
[mm] $\forall i
drückt hingegen aus, dass [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_k$ [/mm] echt aufsteigend angeordnet sind, also
[mm] $\omega_1<\omega_2<\ldots<\omega_k$
[/mm]
gilt.
> - Wenn "i < j : ωi ≤ ωj" gilt, wie kommst du dann auf
> das Tupel (1,1)?
> Ich meine i ist z.B. 1 und j ist z.B. 2, aber wie kann es
> sein das man den Fall
> ωi = ωj bekommen?
Sei also [mm] $(\omega_1,\omega_2)=(1,1)$.
[/mm]
Dann gilt für $i=1$ und $j=2$ offensichtlich
[mm] $\omega_i=\omega_1=1=\omega_2=\omega_j$,
[/mm]
also insbesondere wie gewünscht [mm] $\omega_i\le\omega_j$.
[/mm]
Weitere [mm] $i,j\in\{1,2\}$ [/mm] mit $i<j$ gibt es nicht.
Also haben wir (im Falle [mm] $(\omega_1,\omega_2)=(1,1)$) [/mm] für alle [mm] $i,j\in\{1,2\}$ [/mm] mit $i<j$ gezeigt: [mm] $\omega_i\le\omega_j$.
[/mm]
Magst du zur Übung z.B. mal den Fall $n=4$ und $k=3$ "durchspielen", d.h. Die drei Mengen in aufzählender Schreibweise angeben?
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Hallo tobit09, ich habe da noch einige Fragen.
permutation ohne wiederholung:
Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈ {1,...,n},∀ i != j : ωi!= ωj}
Versteh ich das richtig?:
- ωi!= ωj wurde gewählt weil jedes Element nur einmal vorkommt
- es wurde nicht ωi < ωj geählt weil es verschiedene Reihenfolgen gibt und mit dem < Zeichen würde man dem Tupel eine Ordnung/Reihenfolge geben, was nicht aller Ereignisse von PoW einbezieht
- i != j ist so gewählt weil es (wie du gezeigt hast) aus ωi!= ωj folgt
(gibt es keine viel einfachere erklährung?)
- Aber gut zu wissen das man immer auch i<j wählen kann, das ist einleuchtender für mich
kombination mit wiederholung:
Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈ {1,...,n},∀ i < j : ωi ≤ ωj}
Versteh ich das richtig?:
- Hier wurde eine Ordnungsstruktur eingerichtet, wegen dem ωi ≤ ωj, der Grund ist weil man sich ein geordnetes Tupel ansieht und das für jede Reihenfolge steht die man so bekommt, da bei der Kombination die Reihenfolge egal ist, also (1,2,3) steht für (2,1,3), (2,3,1)....
- Da ωi ≤ ωj gilt heißt dass das ich mehrfach aus der Menge {1,...,n} "ziehen" kann
Sei also i = 1 und j = 2, dann wähle ich mit meinem ωi aus der Menge {1,...,n}, nun kann ich mit dem ωj wieder aus der Menge greifen, aber wegen dem ≤ steckt da immer noch die 1 drin, also ist es möglich nochmals eine 1 zu wählen und man kann deshalb auf das Tupel (1,1)=(ω1,ω2) kommen.
kombination ohne wiederholung:
Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈ {1,...,n},∀ i < j : ωi < ωj}
Versteh ich das richtig?:
- Hier wurde eine Ordnungsstruktur eingerichtet, wegen dem ωi < ωj, der Grund ist weil man sich ein geordnetes Tupel ansieht da die Reihenfolge egal ist, also (1,2,3) steht für (2,1,3), (2,3,1)....
- Das < wurde gewählt weil man natürlich KoW modellieren will, also kein Element kommt doppel vor, und wenn man mit einem ωi aus der Menge {1,...,n} ein Element "zieht" dann darf ich nicht mit ωj das gleiche ziehen sonst folgt ein Fehler aufgrund von ωi < ωj
Ich glaube ich habs bald :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:57 Sa 08.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> permutation ohne wiederholung:
> Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈
> {1,...,n},∀ i != j : ωi!= ωj}
>
> Versteh ich das richtig?:
> - ωi!= ωj wurde gewählt weil jedes Element nur einmal
> vorkommt
Ok.
> - es wurde nicht ωi < ωj geählt weil es verschiedene
> Reihenfolgen gibt und mit dem < Zeichen würde man dem
> Tupel eine Ordnung/Reihenfolge geben, was nicht aller
> Ereignisse von PoW einbezieht
(Schreibe lieber "PoW" statt "Ereignisse von PoW".
"Ereignis" hat in der Stochastik eine feste Bedeutung.)
Ok.
> - i != j ist so gewählt weil es (wie du gezeigt hast) aus
> ωi!= ωj folgt
Diese Erklärung verstehe ich nicht.
> (gibt es keine viel einfachere erklährung?)
Dass [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_k$ [/mm] paarweise verschieden sind, heißt ja gerade, dass für je zwei verschiedene [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] stets auch [mm] $\omega_i$ [/mm] und [mm] $\omega_j$ [/mm] verschieden sind.
Es soll also (im Falle [mm] $k\ge [/mm] 5$) z.B. auch [mm] $\omega_5\not=\omega_1$ [/mm] gelten.
(Das folgt aber bereits aus [mm] $\omega_1\not=\omega_5$.)
[/mm]
> - Aber gut zu wissen das man immer auch i<j wählen kann,
> das ist einleuchtender für mich
> kombination mit wiederholung:
> Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈
> {1,...,n},∀ i < j : ωi ≤ ωj}
>
> Versteh ich das richtig?:
> - Hier wurde eine Ordnungsstruktur eingerichtet, wegen dem
> ωi ≤ ωj, der Grund ist weil man sich ein geordnetes
> Tupel ansieht und das für jede Reihenfolge steht die man
> so bekommt, da bei der Kombination die Reihenfolge egal
> ist, also (1,2,3) steht für (2,1,3), (2,3,1)....
Genauso stelle ich mir das vor.
> - Da ωi ≤ ωj gilt heißt dass das ich mehrfach aus der
> Menge {1,...,n} "ziehen" kann
Besser: "mehrfach die GLEICHE Zahl aus der Menge [mm] $\{1,\ldots,n\}$"
[/mm]
> Sei also i = 1 und j = 2, dann wähle ich mit meinem ωi
> aus der Menge {1,...,n}, nun kann ich mit dem ωj wieder
> aus der Menge greifen, aber wegen dem ≤ steckt da immer
> noch die 1 drin, also ist es möglich nochmals eine 1 zu
> wählen und man kann deshalb auf das Tupel (1,1)=(ω1,ω2)
> kommen.
Ok.
> kombination ohne wiederholung:
> Ω:={(ω1,...,ωk)|∀i,j ∈ {1,...,k} : ωi,ωj∈
> {1,...,n},∀ i < j : ωi < ωj}
>
> Versteh ich das richtig?:
> - Hier wurde eine Ordnungsstruktur eingerichtet, wegen dem
> ωi < ωj, der Grund ist weil man sich ein geordnetes Tupel
> ansieht da die Reihenfolge egal ist, also (1,2,3) steht
> für (2,1,3), (2,3,1)....
> - Das < wurde gewählt weil man natürlich KoW modellieren
> will, also kein Element kommt doppel vor, und wenn man mit
> einem ωi aus der Menge {1,...,n} ein Element "zieht" dann
> darf ich nicht mit ωj das gleiche ziehen sonst folgt ein
> Fehler aufgrund von ωi < ωj
Ok.
> Ich glaube ich habs bald :)
Das glaube ich auch! 
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Fettes Dankeschön tobit09, ich glaube ich habs verstanden.
Der Fall ∀ i != j : ωi!= ωj macht mir noch etwas Probleme.
Ich habe das so verstanden wieso die Mathematiker nicht i < j verwendet haben sondern i != j.
Der Grund ist folgender:
Bei der Permutation ohne Wiederholung ist die Reihenfolge wichtig, aber mit i < j würde man nur eine Reihenfolge haben, also bei {1,2,3...k} und wenn i und j aus diesen Mengen kommen, dann habe ich ich immer solch eine Struktur mit i < j:
1 < 2 < 3 ... < k
wenn i = 2 ist dann kann j nur 3, 4 .. oder k sein.
Nun werden mit i und j die Züge/Wiederholungen nummeriert und mit i < j Begrenze ich diese Permuatationen aufgrund von i < j.
Deshalb vewendet man i != j um keine feste Reihenfolge zu haben.
Bei Kombinationen ist es egal, da kann man i < j verwenden.
Hoffe das stimmt :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 10.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Der Fall ∀ i != j : ωi!= ωj macht mir noch etwas
> Probleme.
>
> Ich habe das so verstanden wieso die Mathematiker nicht i <
> j verwendet haben sondern i != j.
>
> Der Grund ist folgender:
> Bei der Permutation ohne Wiederholung ist die Reihenfolge
> wichtig, aber mit i < j würde man nur eine Reihenfolge
> haben, also bei {1,2,3...k} und wenn i und j aus diesen
> Mengen kommen, dann habe ich ich immer solch eine Struktur
> mit i < j:
> 1 < 2 < 3 ... < k
Bis hierhin verstehe ich deine Gedanken nicht wirklich.
> wenn i = 2 ist dann kann j nur 3, 4 .. oder k sein.
Ja (im Falle $i<j$).
> Nun werden mit i und j die Züge/Wiederholungen nummeriert
Ich würde es (unpräzise) so ausdrücken: i und j stehen für Nummern von Zügen.
> und mit i < j Begrenze ich diese Permuatationen aufgrund
> von i < j.
> Deshalb vewendet man i != j um keine feste Reihenfolge zu
> haben.
>
> Bei Kombinationen ist es egal, da kann man i < j
> verwenden.
Umgekehrt: Bei Permutationen ist es egal, ob man
(1) [mm] $\forall i\not=j\colon \omega_i\not=\omega_j$
[/mm]
oder
(2) [mm] $\forall i
schreibt.
Etwa im Falle $k=3$ ist (1) gleichbedeutend mit:
(1') [mm] $\omega_1\not=\omega_2$ [/mm] und [mm] $\omega_1\not=\omega_3$ [/mm] und [mm] $\omega_2\not=\omega_1$ [/mm] und [mm] $\omega_2\not=\omega_3$ [/mm] und [mm] $\omega_3\not=\omega_1$ [/mm] und [mm] $\omega_3\not=\omega_2$.
[/mm]
Bedingung (2) besagt:
(2') [mm] $\omega_1\not=\omega_2$ [/mm] und [mm] $\omega_1\not=\omega_3$ [/mm] und [mm] $\omega_2\not=\omega_3$.
[/mm]
Scheinbar ist (1') stärker als (2'), aber in Wahrheit folgt z.B. [mm] $\omega_2\not=\omega_1$ [/mm] sowieso schon aus [mm] $\omega_1\not=\omega_2$.
[/mm]
Tatsächlich sind (1') und (2') äquivalent.
Die Bedingung
(3) [mm] $\forall i
aus der Definition der Menge der Kombinationen ohne Wiederholung kann hingegen NICHT durch
(4) [mm] $\forall i\not=j\colon\omega_i<\omega_j$ [/mm] ersetzt werden.
Während (3) äquivalent zu
(3') [mm] $\omega_1<\omega_2<\ldots<\omega_k$
[/mm]
ist, ist (4) für [mm] $k\ge [/mm] 2$ stets falsch.
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