Mittelwertsatz glaube ich < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: R hoch 2 --> R eine stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie:
Für alle (x,y) [mm] \in [/mm] R hoch 2 gilt:
f(x,y) - f(x,0) = y [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{\partialf}{\partialy}(x,ty) dt} [/mm] |
Ich würde diese Aufgabe gerne mit dem Mittelwertsatz lösen, aber so richtig klar, wie das gehen könnte, ist es mir nicht. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst den Fundamentalsatz im eindimensionalen benutzen. Für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist die Funktion [mm] $h:\IR\ni y\mapsto f(x,y)\in\IR$ [/mm] differenzierbar mit [mm] $$h'(y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)$$ [/mm] Also gilt nach dem Fundamentalsatz für alle [mm] $y\in\IR$ [/mm] die Gleichung [mm] $$h(y)=h(0)+\int_0^yh'(t)\ [/mm] dt$$ und das ist die Behauptung, wenn du noch die Substitution [mm]y=y(t)=ty[/mm], [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] durchführst und die obige Gleichung für h' einsetzt.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Mir ist nicht recht klar, wie du hier substituierst... könntest du mir das ein wenig näher erläutern? danke schon mal...
|
|
|
| |
|
Hallo MissPocahontas,
> Mir ist nicht recht klar, wie du hier substituierst...
> könntest du mir das ein wenig näher erläutern? danke
> schon mal...
Zunächst steht hier das Integral:
[mm]\integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial f}{\partial y}\left(x,t\right) \ dt}[/mm]
Jetzt wird [mm]t=u*y[/mm] substituiert.
Dann ist [mm]dt=y \ du[/mm]
Ausserdem ändern sich die Grenzen.
Setze dies alles in das Integral und Du erhältst das Gewünschte.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
