Mittelwert und Streuung... < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einem Baustoffhandel gibt es 10 Sorten Fliesen. Man nehme an, dass alle gleich oft gekauft werden, obwohl die Preise (pro [mm] m^{2}) [/mm] alle unter-
schiedlich sind. Wie ändert sich der durchschnittliche Preis und die Streuung
der Preise, wenn
a) alle Preise um 10 Cent erhöht werden,
b) alle Preise um 5% erhöht werden,
c) die billigste Sorte aus dem Sortiment genommen wird?
d) Ist der Durchschnittspreis die entscheidende Maßzahl für die Wirtschaftlichkeit des Unternehmens? (kurz antworten) |
Zielt diese Aufgabe darauf hinaus zu
I) BERECHNEN, um wieviel sich Durchschnittpreis und Streuung verändern, wenn die Ereignisse a) bis c) eintreten
oder
II) lediglich zu nennen, dass Streuung bzw. Mittelwelt steigt, sinkt oder gleich bleibt?
Ich finde, dass geht aus der Aufgabe nicht hervor. Ist I) gemeint, fehlen meiner Meinung nach die Anfangspreise der Fliesen, um die Aufgabe in der Form zu lösen, d.h. man muss sich diese Ausdenken. Das allerdings führt zu einer irreführenden Fragestellung in a), da der prozentuale Unterschied sich je nach Anfangspreis verändert. Ist II) wären meiner Meinung nach jedoch die genauen Zahlenangaben in der Aufgabenstellung überflüssig, von daher gehe ich davon aus, dass I) gemeint ist. Also habe ich mir Anfangspreise ausgedacht.
Es sei [mm] x_{n} [/mm] der Fließentyp mit n [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Die Preise seien [mm] p_{1} [/mm] = 1, [mm] p_{2} [/mm] = 2, [mm] p_{3} [/mm] = 3, [mm] p_{4} [/mm] = 4, [mm] p_{5} [/mm] = 5, [mm] p_{6} [/mm] = 6, [mm] p_{7} [/mm] = 7, [mm] p_{8} [/mm] = 8, [mm] p_{9} [/mm] = 9 und [mm] p_{10} [/mm] = 10
Es ergibt sich ein Durchschnittpreis von 55/10 = 5,5
Die Streuung berechnet sich zu:
[mm] \wurzel{\bruch{1}{10}\*((5,5-1)^{2}+(5,5-2)^{2}+(5,5-3)^{2}+(5,5-4)^{2}+(5,5-5)^{2}+(5,5-6)^{2}+(5,5-7)^{2}+(5,5-8)^{2}+(5,5-9)^{2}+(5,5-10)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{33}}{2}.
[/mm]
Nun habe ich die jeweiligen Ereignisse auf die Preis übertragen und Mittelwert und Streuung neu berechnet. Allerdings kommt mir das ein wenig zu aufwendig vor!?
bei Teilaufgabe d) habe ich gar keine Idee. Ich hoffe, Ihr könnt mir bei meinen Problemen helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du sollst so genau wie möglich eine allgemeine Antwort finden, die sich zwar an einem Beispiel erkennen lässt, aber doch allgemein gültig sein muss.
a) Wenn sich alle Preise um 10 ct erhöhen, erhälsts du pro Stück nun immer 10 ct mehr als zuvor. Also erhöht sich auch der Durchschnittspreis um 10 ct.
Da aber die Abstände zwischen den Preisen unverändert bleiben und die Streuung ein Maß für den "mittleren" Abstand ist, bleibt diese unverändert!
b) Erhältst du pro Stück 10 % mehr, so erhältst du insgesamt 10 % mehr, der Durchschnitt steigt also um 10 %.
Bei der Berechnung der Standardabweichung musst du ja alle Abweichungen vom Durchschnitt zunächst quadrieren. Ein Summand [mm] (x-\overline{x}) [/mm] hat nun für x und [mm] \overline{x} [/mm] und damit auch für die gesamte Differenz einen 10 % größeren Wert, was durch den Faktor 1,1 ausgedrückt werden kann. Beim Quadrieren erhält man den bisherigen quadrierten Differenzwert mit dem Zusatzfaktor [mm] 1,1^2, [/mm] beim Aufsummieren aller dieser Summanden somit den bisherigen Wert, multipliziert insgesamt mit [mm] 1,1^2 [/mm] (die Varianz), und beim Wurzelziehen nun wieder den bisherigen Wert mit dem Faktor 1,1.
Also erhöht sich die Streuung ebenfalls mit dem Faktor 1,1, steigt damit um 10 %.
c)Fehlt die billigste Sorte, müssen die Käufer derselben ausbleiben oder eine teurere Sorte kaufen. Auf jeden Fall steigt der Durchschnittspreis. Die Streuung wird vermutlich abnehmen, da ja der am stärksten vom Durchschnitt nach unten abweichende Preis wegfällt. Ob man hierzu auch Ausnahmen konstruieren kann, wenn alle Artikel gleich oft gekauft werden, glaube ich nicht. Man müsste dies aber noch beweisen.
d) Der Durchschnittspreis gibt Auskunft darüber, wieviel Geld, dass wir eingenommen haben, von jedem Käufer stammt, wenn alle uns gleichviel bezahlt hätten. Wenn allerdings nur 10 Artikel im Jahr gekauft werden, ist unsere Firma nicht so leistungsfähig, als wenn es 1000 wären. Das Produkt aus gekaufter Artikelzahl und Durchschnittspreis ist somit die entscheidende Maßzahl für die Wirtschaftlichkeit unseres Untermehmens. Je nach Gesichtspunkt kann man dies aber auch auf den Gewinn beziehen, was die Sache mathematisch aber verkompliiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Di 29.12.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Vielen Dank....
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