Mittelwert einer Fkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 23.07.2006 | | Autor: | scratchy |
| Aufgabe | die Funktion ist wie folgt definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 6-6x+x^2, & \mbox{für } 1 \le x < 4 \\ (x-4)/2, & \mbox{für } 4 \le x \le 8 \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie den Mittelwert. |
Wie bestimmt man den Mittelwert von so einer Funktion?
Da kann man doch nicht die Formel vom Mittelwertsatz der Integralrechnung nehmen,
[Dateianhang nicht öffentlich]
da das ja nur funktioniert wenn die Funktion in diesem Intervall stetig ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi, scratchy,
Du hast natürlich Recht, dass der MWS der Integralrechnung eigentlich nur für STETIGE Funktionen gilt!
Ich denke aber, dass die Aufgabe trotzdem so gemeint ist, dass Du DIESEN Mittelwert berechnen sollst! Es geht ja eigentlich "nur" darum, ein Rechteck der Breite 8 zu finden, das denselben Inhalt hat (einschließlich Vorzeichen!) wie die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.
(Ohne Gewähr: Ich bekomme dabei [mm] y_{m} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{16} [/mm] raus!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 23.07.2006 | | Autor: | scratchy |
Du meinst also den Mittelwert der einzelnen Funktionen zwischen [0,8] berechnen und dann die 3 Mittelwerte addieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 23.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo scratchy,
nein, Deine Interpretation ist noch verkehrt. Der gesuchte Mittelwert bezieht sich auf die Flächengleichheit zwischen dem Integral über die drei Anteile der Kurven, die Du vorgegeben hast und einer Rechteckfläche der Breite von 8, da die x -Werte von 0 bis 8 laufen, und einer noch unbekannten "Höhe". Diese "Höhe" ist dann der Mittelwert, den Du suchst.
Also, zunächst berechnest Du den Wert des Integrals über die drei Kurvenanteile, mach das mal, und Du bekommst einen Wert raus, den ich hier mal [mm] I [/mm] nenne, da er sich durch das Integral berechnet.
Diesen Flächeninhalt (inkl. Vorzeichen) setzt Du nun gleich mit einer Rechteckfläche, für die gilt $$ [mm] y_m \cdot [/mm] 8 = I .$$
Daraus erhälst Du den gesuchten Mittelwert [mm] y_m [/mm], ich bekomme übrigens das Gleiche raus wie Zwerglein, wir haben uns wohl nicht verrechnet.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 So 23.07.2006 | | Autor: | scratchy |
Alles klar, nun hab ich es verstanden, danke an euch beide!
Bin übrigens auch auf euer Ergebnis gekommen.
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