Mit Eigenwerten die Eigenvekto < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Do 22.01.2009 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren. |
Hallo!
Die Eigenwerte zu berechnen war nicht sonderlich schwer. Ich habe 1, 1, 3 herausbekommen. Das habe ich auch mit einem Tool im Internet kontrolliert und es stimmt.
Wenn ich nun allerdings die Eigenvektoren berechnen möchte gehe ich folgendermaßen vor:
[mm] \pmat{ 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}
[/mm]
[mm] -\lambda [/mm] = 1
[mm] \pmat{ 2-1 & 1 & 0 \\ 1 & 2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-1}
[/mm]
ist gleich
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Ich weiß ich stehe jetzt voll auf der Leitung aber wie kann ich das nun berechnen? Allerdings sitzte ich nun schon seit Stunden dabei und komme einfach nicht dahinter.
lg
pioneer
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Hallo pineer,
> Gegeben ist die Matrix:
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> Man berechne
> die Eigenwerte und Eigenvektoren.
> Hallo!
>
> Die Eigenwerte zu berechnen war nicht sonderlich schwer.
> Ich habe 1, 1, 3 herausbekommen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch mit
> einem Tool im Internet kontrolliert und es stimmt.
> Wenn ich nun allerdings die Eigenvektoren berechnen möchte
> gehe ich folgendermaßen vor:
> [mm]\pmat{ 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}[/mm]
>
> [mm]-\lambda[/mm] = 1
> [mm]\pmat{ 2-1 & 1 & 0 \\ 1 & 2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-1}[/mm]
> ist
> gleich
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> Ich weiß ich
> stehe jetzt voll auf der Leitung aber wie kann ich das nun
> berechnen? Allerdings sitzte ich nun schon seit Stunden
> dabei und komme einfach nicht dahinter.
Du musst den Kern dieser Matrix [mm] $(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] berechnen, also die Lösungsgesamtheit der Matrixgleichung [mm] $(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3)\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
bzw. ausgeschrieben [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Dazu bringe mal die Matrix [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}$ [/mm] in Zeilenstufenform, ist ja nicht mehr viel Arbeit 
Du bekommst 2 Nullzeilen, also bleibt eine Gleichung in den 3 Unbekannten [mm] $x_1,x_2,x_3$, [/mm] also hast du 2 frei wählbare Parameter, setze [mm] $x_3:=t, x_2:=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$ [/mm] und bestimme den Wert für [mm] $x_1$ [/mm] in Abh. von $s,t$
Ein Lösungsvektor [mm] $\neq\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] aus der Lösungsgesamtheit, also aus dem Kern ist dann ein Eigenvektor.
Hier ist der Kern gar 2-dimensional, also wird es 2 (linear unabh.) Eigenvektoren geben ...
LG
schachuzipus
>
> lg
> pioneer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 22.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo schachuzipus!
Danke für deine schnelle Antwort!
Ich habe bereits versucht die Matrix auf Zeilensufenform zu bringen. Wenn ich das -1 fache der ersten Zeile zur zweiten addiere erhalte ich die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und das Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Also ist die einzige Gleichung die ich habe:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
Ich wähle [mm] x_{2} [/mm] = s also [mm] x_{1} [/mm] = -s
Aber was ist nun mit [mm] x_{3}?
[/mm]
Auch das mit dem 2 dimensionalen Kern und den 2 linear unabhängigen Eingevektoren habe ich nicht ganz verstanden.
lg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Hallo schachuzipus!
>
> Danke für deine schnelle Antwort!
> Ich habe bereits versucht die Matrix auf Zeilensufenform
> zu bringen. Wenn ich das -1 fache der ersten Zeile zur
> zweiten addiere erhalte ich die Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> und das Gleichungssystem:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Also ist die einzige Gleichung die ich habe:
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 0
>
> Ich wähle [mm]x_{2}[/mm] = s also [mm]x_{1}[/mm] = -s
> Aber was ist nun mit [mm]x_{3}?[/mm]
[mm]x_{3}[/mm] ist frei wählbar, da Du aus
[mm]0*x_{1}+0*x_{2}+0*x_{3}=0[/mm]
diese Variable nicht bestimmen kannst.
Lösung ist dann:
[mm]x_{1}=-s[/mm]
[mm]x_{2}=s[/mm]
[mm]x_{3}=t[/mm]
> Auch das mit dem 2 dimensionalen Kern und den 2 linear
> unabhängigen Eingevektoren habe ich nicht ganz verstanden.
>
> lg
> pioneer
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 22.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Danke für deine Antwort!
Wie komme ich nun aber von -s, s, t auf den Eigenvektor bzw. die beiden Eigenvektoren. Laut
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm
müssten die beiden Eigenvektoren
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
sein.
lg
pioneer
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Hallo nochmal,
ich habe doch ausdrücklichst geschrieben, dass ein Eigenvektor ein Vektor aus dem Kern ist, der nicht der Nullvektor ist, also ein nicht-trivialer Vektor aus der Lösungsgesamtheit der entsprechenden Matrixgleichung.
Schreibe doch mal die allg. Lösung des obigen LGS hin
So ein allg. Lösungsvektor hat die Gestalt [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-a\\a\\b}=\vektor{-a\\a\\0}+\vektor{0\\0\\b}=a\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+b\cdot{}\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR$
[/mm]
Also ist der Kern der Matrix [mm] $A-1\cdot{}\mathbb{E}_3$ [/mm] bzw. die Lösungsgesamtheit der entsprechenden Matrixgleichung der Spann
[mm] $\left\langle\vektor{-1\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\right\rangle$
[/mm]
Ein Vektor [mm] \neq\vec{0} [/mm] ist ein Eigenvektor (zum Eigenwert 1), etwa der erste (für a=1, b=0) und der zweite (für a=0, b=1)
Also hast du 2 linear unabh. Eigenvektoren
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Do 22.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Danke für eure Gedult. Ich glaube nun habe ich es verstanden. Vielen Dank.
lg
pioneer
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