Minimierung ohne Nebenbed. < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:18 Do 29.01.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich bearbeite gerade eine Paragraphen mit dem Namen " Nichtglatte Minimierung ohnh Nebenbedingungen" und bin auf ein Satz gestoßen mit dem Namen "Ekelands Prinzip". Bei diesen Satz habe ich Verständnisprobleme, und kann leider auch keine richtige Literatur dazu finden. Ich hoffe, dass mir jemand einfach nur den Inhalt erläutern kann.
SATZ ( Ekelands Prinzip )
Sei
i) [mm] f: \mathbb R^n \to \mathbb R \cup \{ \infty \} [/mm] unterhalb halbstetig
ii) [mm] \liminf_{x \in \mathbb R^n } f(x) := f > - \infty [/mm]
iii) [mm] \epsilon > 0, \ \lambda > 0 [/mm] beliebig
iv) [mm] x_{ \epsilon} [/mm] sei gegeben mit [mm] f(x_{ \epsilon} ) < f + \epsilon [/mm]
Dann gibt es ein [mm] \overline{ x_{ \epsilon} } \in \mathbb R^n [/mm] mit [mm] \| \overline{ x_{ \epsilon} } - x_{ \epsilon} \| < \lambda , \ f( mm\overline{ x_{ \epsilon} } ) \le f ( x_{ \epsilon} ) [/mm] und
[mm] \ f( \overline{ x_{ \epsilon} } ) \le f(x) + \bruch{ \epsilon }{ \lambda } \| x - \overline{ x_{ \epsilon} } \| \ \forall x \in \mathbb R^n [/mm].
D.h. [mm] \overline{ x_{ \epsilon} } [/mm] ist ein globales Minimum der
gestörten Funktion [mm] x \to f(x) + \bruch{ \epsilon }{ \lambda } \| x - \overline{ x_{ \epsilon} } \| [/mm]
Also, wenn ich das richtig sehe, besagt dieser Satz, dass wenn wir eine unterhalb halbstetige Funktion f haben, die nach unten geschränkt ist und beliebige [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \lambda [/mm] existieren und ein [mm] x_{ \epsilon [/mm] gegeben ist mit den Voraussetzungen, es ein [mm] \overline{ x_{\epsilon}} [/mm] gibt, welches ein globales Minimum der gestörten Funtion ist.
Aber in welcher Beziehung stehen denn f und sie gestörte Funktion zueinander?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Schau mal, ob du ![[]](/images/popup.gif) damit etwas anfangen kannst. Der Fixpunktsatz von Caristi ist eine andere Variante deines Prinzips.
Wenn ich das nach kurzem Überfliegen richtig sehe, dann musst du dort die Funktion [mm]T=\overline{x_{\epsilon}}[/mm] setzen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Danke für den Hinweis! Ich habe mir das durchgelesen , aber leider habe ich immernoch nicht das Verständnis für diesen Satz entwickelt.
Ich möchte doch die Zielfunktion f minimieren, also ihr Minimum herausfinden, aber statt dessen sagt der Satz etwas über das globale Minimum der gestörten Funktion aus... Ist denn dieses Minimum dann auch ein Minimum der Zielfunktion ???
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 07.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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