Minimalpolynom über Q < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IC, a^{3} [/mm] + 2a - 1 = 0
Bestimmen Sie das Minimalpolynom von a und von [mm] a^{2}+a [/mm] über [mm] \IQ [/mm] |
Hallo!
Meine Frage hier ist, wie ich überhaupt anfangen soll? Mein Problem besteht darin, dass ich nicht recht verstehe, was Mipo von a bzw. Mipo von [mm] a^{2}+a [/mm] bedeuten soll!?
Wären das schöne "normale" Zahlen, z. B. i dann würde ich daraus schließen, dass dass Mipo [mm] x^{2}+ [/mm] 1 ist, da es normiert ist und jedes Polynom kleineren Grades linear wäre und nur eine Nullstelle in [mm] \IQ [/mm] hätte.
Aber wie soll ich damit umgehen?
Kann mir bitte jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Di 16.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
betrachte doch mal die Multiplikation [mm] \mu_a [/mm] mit [mm] a^2+a [/mm] als [mm] $\IQ$-linearen [/mm] Endomorphismus des [mm] $\IQ$-Vektorraums $\IQ(a)$. [/mm] Dieser hat [mm] 1,a,a^2 [/mm] als Basis, denn [mm] X^3+2X-1 [/mm] ist irreduzibel (Warum?). Bzgl. dieser Basis hat [mm] \mu_a [/mm] wegen der Relation [mm] a^3=1-2a [/mm] die Matrix
[mm] \mu_a= \pmat{ 0 & 1& 1\\ 1 &-2 & -1 \\ 1&1 & -2}. [/mm]
Wegen des Satzes von Cayley-Hamilton ist [mm] \mu_a=a [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms dieser Matrix, d.h.
[mm] \vmat{ X & -1& -1\\ -1 &X+2 & 1 \\ -1&-1 & X+2}. [/mm]
ist ein normiertes Polynom vom Grad drei, das [mm] a^2+a [/mm] als Nullstelle hat. Es könnte aber noch reduzibel sein...
Volker
|
|
|
|
