Minimalpolynom berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 26.03.2005 | | Autor: | utz |
Hallo Zusammen!
Wir haben einen nette Algorithmus zum berechnen des Minimalpolynoms, in dem man sich die Standardbasen nimmt und diese mit der gegebenen Matrix abbildet, bis die Vektoren lineare abhängig werden.
Gegeben sei nun
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 &1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Wir sind in den reellen Zahlen.
Ich möchte jetzt das Minimalpolynom berechnen.
Dazu nehme ich mir den ersten Basisvektor (e) und errechne weiterhin A*e, [mm] A^2*e, A^3*e...
[/mm]
Nun gucke ich wie sich die Vektoren linear kombinieren lassen und habe als Lösung des LGS
b= [mm] \vektor{15-3p \\ -32 + 7p \\ 18-5p \\ p}
[/mm]
Mit p als Variable.
Das Minimalpolynom sollte also
[mm] x^4-(1,x,x^2,x^3)*b=0
[/mm]
sein.
Die Musterlösung sagt als Ergebnis [mm] x^4-7x^3+17x^2-17x+6 [/mm] voraus.
Dazu würde ist dann p = -7 setzten.
Aber wie komm ich darauf, dass p nicht irgend eine andere Zahl ist?
Wäre für eine Idee sehr dankbar!
UTZ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 26.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> Wir haben einen nette Algorithmus zum berechnen des
> Minimalpolynoms, in dem man sich die Standardbasen nimmt
> und diese mit der gegebenen Matrix abbildet, bis die
> Vektoren lineare abhängig werden.
>
> Gegeben sei nun
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 &1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Wir sind in den reellen Zahlen.
>
> Ich möchte jetzt das Minimalpolynom berechnen.
> Dazu wird der erst Basisvektor mehrmals in die von A
> induzierte Abbildung
Soweit ok.
> Nun gucke ich wie sich die Vektoren linear kombinieren
> lassen
Zu was moechtest Du sie denn kombinieren?
> und habe als Ergebnis
>
> b= [mm]\vektor{15-3p \\ -32 + 7p \\ 18-5p \\ p}[/mm]
Kannst Du mal das Gleichungssystem angeben, mit dem
Du auf diesen Loesungsvektor gekommen bist?
Es scheint naemlich, als haettest Du zu spaet abgebrochen,
beim Abbilden eines Standardvektors.
> Mit p als Variable.
>
> Das Minimalpolynom sollte also
> [mm]x^4-(1,x,x^2,x^3)*b=0[/mm]
>
> sein.
>
> Die Musterlösung sagt als Ergebnis [mm]x^4-7x^3+17x^2-17x+6[/mm]
> voraus.
In diesem Fall kann man das Minimalpolynom fast ablesen,
denn das charakteristische Polynom laesst sich sofort
angeben, es muss nur noch die Vielfachheit von (x-1)
ueberprueft werden.
Die Matrix schreit foermlich danach. =)
Gruss,
Monika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 26.03.2005 | | Autor: | utz |
Danke schonmal!
Hier nun meine Vektoren: Der erste Basisvektor (nenn ich mal e) wird abgebildet.
e, e*A, [mm] e*A^2, [/mm] ...:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 0 & 1 & 5 & 18 & 58 \\ 0 & 1 & 4 & 13 & 40 \\ 0 & 1 & 3 & 8 & 22}
[/mm]
Gaussalg. anwenden, bis die linken vier Vektoren strikte Stufenform haben
Zwischenschritt:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 &0 & 15-3p\\ 0 & 0 & 0 & 1 & p \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 18-5p \\0 & 1 & 0 & -7 & -32 + 7p}
[/mm]
Sollte ich das LGS besser anders aufstellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Sa 26.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> Hier nun meine Vektoren: Der erste Basisvektor (nenn ich
> mal e) wird abgebildet.
>
> e, e*A, [mm]e*A^2,[/mm] ...:
Schau mal, wenn Du den Vektor von links dranmultiplizierst,
musst Du ihn transponieren.
Dann erhaelst Du aber ganz andere Ergebnisse.
[mm]e_1=(1,0,0,0)^{tr}[/mm]
[mm]e_1^{tr}*A=(1,0,0,0)[/mm]
Das hast Du sicher nicht gerechnet. =)
Einen Vektor an einer Matrix abzubilden, bedeutet meist
[mm]x \rightarrow A*x[/mm]
Du kannst es Dir aber viel, viel einfacher machen, falls
Du das nicht weisst (ansonsten lies dran vorbei):
Ich nehme jetzt mal an, dass Du folgendes gemacht
hast:
[mm]e, A*e,A^2*e,[/mm]
Dasselbe kannst Du auch so machen:
[mm]v_1 = e_1[/mm]
[mm]v_2 = A*e_1[/mm]
[mm]v_3 = A*v_2[/mm]
[mm]v_4 = A*v_3...[/mm]
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 0 & 1 & 5 & 18 & 58 \\ 0 & 1 & 4 & 13 & 40 \\ 0 & 1 & 3 & 8 & 22}[/mm]
Komischerweise habe ich andere Ergebnisse raus, als Du.
Das macht aber nichts, weil das Prinzip bzw. der Fehler auch
hier zu sehen ist.
Du bekommst auf Deiner linken Seite Nullzeilen, daher der
Parameter p.
Das darf nicht sein, denn sobald Du bei der Abbildung einen
linear abhaengigen Vektor erhaelst, musst Du aufhoeren und
mit dem naechsten Basisvektor weitermachen.
Heisst: Bereits Dein vierter Vektor war linear abhaengig.
Den musst Du als Linearkombination der vorhergehenden
drei Vektoren darstellen.
Leider ist hier ein Gleichungssystem ungeeignet und das
Ausrechnen ist eine Tortur.
(Diese Aufgabe ist schrecklich fuer Leute, die das mit
dem charakteristischen Polynom nicht kennen.)
Du hast eine nxn-Matrix. Hier ist n = 4.
Durch Abbilden des ersten Basisvektors erhaelst Du nur
ein Polynom vom Grad 3.
Dies ist ein Teiler des Minimalpolynoms, im Allgemeinen
aber noch nicht das Minimalpolynom.
Du musst dann den zweiten Basisvektor abbilden, bis einer
in der neuen Kette linear abhaengig wird.
Fertig bist Du erst, wenn Du insgesamt mindestens n linear
unabhaengige Vektoren hast.
(Also in den verschiedenen Ketten, insgesamt kann es da ja
nicht mehr als 4 geben).
Dann ist das Minimalpolynom das kgV aus den errechneten
Teilern.
> Gaussalg. anwenden, bis die linken vier Vektoren strikte
> Stufenform haben
>
> Zwischenschritt:
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 &0 & 15-3p\\ 0 & 0 & 0 & 1 & p \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 18-5p \\0 & 1 & 0 & -7 & -32 + 7p}[/mm]
>
>
> Sollte ich das LGS besser anders aufstellen?
Du kommst hier nicht weit, mit einem LGS.
Kannst versuchen, alle 4 Standardvektoren abzubilden
und wenn Du Glueck hast, ist irgendwo erst der fuenfte
(n+1) linear abhaengig.
Oder eine Komponente ist durchgehend 0, dann kannst
Du die ganze Zeile streichen und kommst auch mit 4
Vektoren aus.
Dann kannst Du ein LGS loesen.
Ich vermute aber, dass das hier nicht passieren wird,
hoechstens das mit der 0 ist denkbar.
Die Aufgabe ist typische Klausuraufgabe und ein Sieb fuer Leute,
die den Stoff nicht gelernt haben. 
Sie kommt mir auch sehr bekannt vor, ich wuerde fast tippen,
dass der Nachname Deines Profs mit "P" anfaengt.
Schau Dir mal Determinanten und charakteristische Polynome
an, dann ist das eine Sache von 3 Minuten.
Kannst Du das charakteristische Polynom dieser Matrix aufstellen?
Der Rest ist dann ganz einfach...
Gruss,
Monika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mo 28.03.2005 | | Autor: | utz |
Hallo Monika!
War bis gerade noch unterwegs...
Ist ja eine super Sache mit dem charkteristischen Polynom. Ich konnte damit beiher nie wiklich was anfangen. Jedenfalls habe ich jetzt beide Wege mal erfolgreich nachgerechnet.
Ist ja echt witzig, dass man hier von einer Aachenerin geholfen wird wahrscheinlich wohnst Du auch noch in der Nachbar-WG und wir kommunizieren hier über den Matheraum miteinander *lol*
Du bist aber vermutlich schon "älter", oder kommst Du jetzt auch ins 2. Semester?
Schöne Grüße und vielen Dank!
UTZ
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 26.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
Hier nochmal genauer:
> Wir haben einen nette Algorithmus zum berechnen des
> Minimalpolynoms, in dem man sich die Standardbasen nimmt
> und diese mit der gegebenen Matrix abbildet, bis die
> Vektoren lineare abhängig werden.
>
> Gegeben sei nun
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 &1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Wir sind in den reellen Zahlen.
>
> Ich möchte jetzt das Minimalpolynom berechnen.
Ja.
Sobald Du eine Matrix siehst, die in der ersten Zeile oder
Spalte bis auf einen Eintrag nur Nullen enthaelt und daneben
eventuell noch ein paar mehr, sollten die Alarmglocken schrillen.
Denn dann gibt es einen viel einfacheren Weg, als diesen
Algorithmus.
> Dazu nehme ich mir den ersten Basisvektor (e) und errechne
> weiterhin A*e, [mm]A^2*e, A^3*e...[/mm]
>
> Nun gucke ich wie sich die Vektoren linear kombinieren
> lassen und habe als Lösung des LGS
>
> b= [mm]\vektor{15-3p \\ -32 + 7p \\ 18-5p \\ p}[/mm]
>
> Mit p als Variable.
>
> Das Minimalpolynom sollte also
> [mm]x^4-(1,x,x^2,x^3)*b=0[/mm]
>
> sein.
>
> Die Musterlösung sagt als Ergebnis [mm]x^4-7x^3+17x^2-17x+6[/mm]
> voraus.
> Dazu würde ist dann p = -7 setzten.
>
> Aber wie komm ich darauf, dass p nicht irgend eine andere
> Zahl ist?
Gar nicht.
Stattdessen ist das ein Hinweis darauf, dass Du mehr als
einen linear abhaengigen Vektor errechnet hast und die
Loesung daher nicht eindeutig ist.
Hier der andere Weg:
Das charakteristische Polynom dieser Matrix laesst sich
einfach ablesen:
[mm]\chi_A = (x-1)^{2}(x-2)(x-3)[/mm]
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und die des
Minimalpolynoms sind gleich.
Unterscheiden koennen sie sich also nur in den Vielfachheiten.
Hier ist [mm](x-1)^{2}[/mm] der Kandidat, der ueberprueft werden
muss.
Nennen wir die Potenz, die da auftritt, k.
Also stellt man die Matrix auf, die man auch zum Berechnen
der Eigenvektoren braucht mit EW [mm]\lambda=1[/mm].
Hier: [mm]M:=(A-\lambda*I)=A-I[/mm]
Jetzt schaut man sich den Rang von [mm]M^1=M[/mm] an.
Hat man den bestimmt, dann schaut man sich denjenigen von
[mm]M^2[/mm] an und so weiter, bis k, das hier zum Glueck 2 ist.
Fuer [mm]M^{j}[/mm] mit [mm]j > k[/mm] veraendert sich der Rang nicht mehr.
Hat man also in seinen Potenzen den Fall
[mm]Rang(M^{i}) = Rang (M^{i+1})[/mm]
dann ist i die Vielfachheit dieses Faktors im Minimapolynom.
Hier ist [mm]Rang(M^{1})=3[/mm] und [mm]Rang(M^{2})=2[/mm]
und da [mm]3>2[/mm], ist [mm]Rang(M^{3})=Rang(M^{2})=2[/mm].
Somit ist die Vielfachheit 2.
In diesem konkreten Fall also ist das Minimalpolynom gleich dem
charakteristischen Polynom.
[mm]\mu_A=(x-1)^{2}(x-2)(x-3)=x^4-7x^3+17x^2-17x+6[/mm]
Da man den Matrizenpotenzen ihren Rang direkt ansehen kann,
belaeuft sich der Aufwand fuer diesen Weg auf das Abziehen von
Einsen auf der Diagonale und das einmalige Quadrieren der resultierenden
Matrix.
Wer hier den anderen Weg geht, wird keinen Spass haben, auch wenn
er keine Fehler im Algorithmus macht. :)
Hoffe es hilft,
Monika
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