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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Minimalpolynom von [mm] a:=\wurzel{3}+\wurzel{2} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] |
Hallo
Ich habe einen Lösungsvorschlag, aber davor habe ich noch eine Frage.
Warum reicht es nicht, um zu zeigen, das ein Polynom irreduzibel ist, die Nullstellen auszurechnen und wenn die zum Beispiel komplex sind und wor uns in [mm] \IQ [/mm] befinden, dann ist das Polynom doch irreduzibel.
Also nun zu meinem Lösungsvorschlag:
Da der Grad von [mm] [\IQ[\wurzel{3}]:\IQ]=[\IQ[\wurzel{2}]:\IQ]=2, [/mm] kann der Grad des Minimalpolynoms nur 4 sein.
Nun habe ich die Potenzen bis Grad 4 ausgerechnet
[mm] a^0=0
[/mm]
[mm] a=\wurzel{3}+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] a^2=5+2*\wurzel{6}
[/mm]
[mm] a^3=11*\wurzelo{2}+9*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] a^4=20*\wurzel{6}+49
[/mm]
Nun setz ich alle Gleichungen in ein Gleichungssystem ein und bekomme:
[mm] \vektor{49 \\ 0 \\ 0 \\ 20}=-a*\vektor{0 \\ 9 \\ 11 \\ 0}-b*\vektor{5 \\ 0 \\ 0 \\ 2}-c*\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] -d* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Daraus bekomme ich
20=-2b <=> b=-10
49=50-d => d=1
a=c=0
=> Das Minimalpolynom ist [mm] M(x)=x^4-10x^2+1
[/mm]
Soweit sogut. Meine Frage: Muss ich noch zeigen, dass das Minimalpolynom irreduzibel ist und kann ich das einfach zeigen, indem ich die komplexen Nullstellen angebe?
Ok. Ich habe es alternativ mit dem Reduktionskriterium versucht, aber komme am Ende nicht weiter.
In [mm] \IZ [/mm] modulo [mm] 3\IZ [/mm] lautet das Polynom [mm] N(x)=x^4+1
[/mm]
N(0)=1 [mm] \not= [/mm] 0
N(1)=1+1=2 [mm] \not= [/mm] 0
N(2)=17=1 [mm] \not= [/mm] 0
Also kann man keine Nullstellen abspalten, aber nun muss man noch zeigen, dass man M(x) nicht in 2 quadratische Polynome zerlegen kann
[mm] (x^2+ax+b)*(x^2+cx+d)=x^4-10x^2+1
[/mm]
=> [mm] x^4+(c+a)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+cb)x+bd=x^4^-10x^2+1
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert
(1) c=-a
(2) d+ac+b=-10
(3) ad=-cb
(4) bd=1 [mm] =>d=b^{-1}
[/mm]
Setze (1) und (2) in die anderen Gleichungen und bekomme
(2)' [mm] b^{-1}+b-a^2=-10
[/mm]
(3)' [mm] a(b^{-1}-b)=0
[/mm]
Aus (3) folgt: Entweder a=0 oder [mm] b=b^{-1}
[/mm]
Wenn [mm] b=b^{-1}, [/mm] dann folgt aus (2)': [mm] -a^2=-10 [/mm] => [mm] a=\wurzel{10} [/mm] und dies ist ein Widerspruch, da a nicht in den rationalen Zahlen liegt
Wenn a=0, dann gilt
[mm] b^{-1}+b=-10
[/mm]
Hier seh ich grad nicht, warum die Gleichung nicht gilt, oder ist folgendes richtig: Wenn man das Element mit seinem Inversen verknüpft, dann kommt das neutrale Element heraus und -10 ist nicht das neutrale Element.
Wenn ich den zweiten Fall auch widerlege, dann ist M(x) irreduzibel und M(x) ist das gesuchte Minimalpolynom.
Ich bedanke mich für jede Hilfe
Gruß
TheBOzz-mismo
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Hallo TheBOzz-mismo!
> Bestimmen Sie das Minimalpolynom von
> [mm]a:=\wurzel{3}+\wurzel{2}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> Hallo
>
> Ich habe einen Lösungsvorschlag, aber davor habe ich noch
> eine Frage.
>
> Warum reicht es nicht, um zu zeigen, das ein Polynom
> irreduzibel ist, die Nullstellen auszurechnen und wenn die
> zum Beispiel komplex sind und wor uns in [mm]\IQ[/mm] befinden, dann
> ist das Polynom doch irreduzibel.
Welche Nullstellen hat $p(X) := [mm] X^4 [/mm] + [mm] 2X^2 [/mm] + 1$ in [mm] $\mathbb [/mm] C[X]$?
Ist $p(x)$ irreduzibel in [mm] $\mathbb [/mm] Q[x]$?
>
> Also nun zu meinem Lösungsvorschlag:
> Da der Grad von
> [mm][\IQ[\wurzel{3}]:\IQ]=[\IQ[\wurzel{2}]:\IQ]=2,[/mm] kann der
> Grad des Minimalpolynoms nur 4 sein.
>
> Nun habe ich die Potenzen bis Grad 4 ausgerechnet
>
> [mm]a^0=0[/mm]
Schreibfehler!
> [mm]a=\wurzel{3}+\wurzel{2}[/mm]
> [mm]a^2=5+2*\wurzel{6}[/mm]
> [mm]a^3=11*\wurzelo{2}+9*\wurzel{3}[/mm]
> [mm]a^4=20*\wurzel{6}+49[/mm]
>
> Nun setz ich alle Gleichungen in ein Gleichungssystem ein
> und bekomme:
> [mm]\vektor{49 \\ 0 \\ 0 \\ 20}=-a*\vektor{0 \\ 9 \\ 11 \\ 0}-b*\vektor{5 \\ 0 \\ 0 \\ 2}-c*\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> -d* [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Daraus bekomme ich
> 20=-2b <=> b=-10
> 49=50-d => d=1
> a=c=0
> => Das Minimalpolynom ist [mm]M(x)=x^4-10x^2+1[/mm]
>
> Soweit sogut. Meine Frage: Muss ich noch zeigen, dass das
> Minimalpolynom irreduzibel ist
Man kann auch anders argumentieren.
> und kann ich das einfach
> zeigen, indem ich die komplexen Nullstellen angebe?
Nein.
>
> Ok. Ich habe es alternativ mit dem Reduktionskriterium
> versucht, aber komme am Ende nicht weiter.
>
> In [mm]\IZ[/mm] modulo [mm]3\IZ[/mm] lautet das Polynom [mm]N(x)=x^4+1[/mm]
??????
Warum versuchst du es nicht mit [mm] $\mathbb [/mm] Z / [mm] 2\mathbb [/mm] Z$?
Das Folgende lese ich also lieber erstmal nicht. 
> N(0)=1 [mm]\not=[/mm] 0
> N(1)=1+1=2 [mm]\not=[/mm] 0
> N(2)=17=1 [mm]\not=[/mm] 0
> Also kann man keine Nullstellen abspalten, aber nun muss
> man noch zeigen, dass man M(x) nicht in 2 quadratische
> Polynome zerlegen kann
> [mm](x^2+ax+b)*(x^2+cx+d)=x^4-10x^2+1[/mm]
>
> => [mm]x^4+(c+a)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+cb)x+bd=x^4^-10x^2+1[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich liefert
> (1) c=-a
> (2) d+ac+b=-10
> (3) ad=-cb
> (4) bd=1 [mm]=>d=b^{-1}[/mm]
> Setze (1) und (2) in die anderen Gleichungen und bekomme
> (2)' [mm]b^{-1}+b-a^2=-10[/mm]
> (3)' [mm]a(b^{-1}-b)=0[/mm]
> Aus (3) folgt: Entweder a=0 oder [mm]b=b^{-1}[/mm]
> Wenn [mm]b=b^{-1},[/mm] dann folgt aus (2)': [mm]-a^2=-10[/mm] =>
> [mm]a=\wurzel{10}[/mm] und dies ist ein Widerspruch, da a nicht in
> den rationalen Zahlen liegt
> Wenn a=0, dann gilt
> [mm]b^{-1}+b=-10[/mm]
>
> Hier seh ich grad nicht, warum die Gleichung nicht gilt,
> oder ist folgendes richtig: Wenn man das Element mit seinem
> Inversen verknüpft, dann kommt das neutrale Element heraus
> und -10 ist nicht das neutrale Element.
>
>
> Wenn ich den zweiten Fall auch widerlege, dann ist M(x)
> irreduzibel und M(x) ist das gesuchte Minimalpolynom.
>
> Ich bedanke mich für jede Hilfe
>
> Gruß
> TheBOzz-mismo
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