Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Do 10.12.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Sei c= [mm] e^{\bruch{2\pi*i}{5}}. [/mm] Finde das Minimalpolynom von
a) c + [mm] c^{-1} [/mm] über [mm] \IQ
[/mm]
b) c über [mm] \IQ(c [/mm] + [mm] c^{-1}).
[/mm]
|
Habe gerade nich so eine Ahnung, wie ich vorgehen könnte.
also klar ist ja, dass [mm] c^{-1} [/mm] = [mm] c^4 [/mm] ist.
Doch muss ich dann einfach ausprobieren? oder gibt es einen besseren Weg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei c= [mm]e^{\bruch{2\pi*i}{5}}.[/mm] Finde das Minimalpolynom von
Kennst du das Minimalpolynom von $c$ ueber [mm] $\IQ$?
[/mm]
> a) c + [mm]c^{-1}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
>
> b) c über [mm]\IQ(c[/mm] + [mm]c^{-1}).[/mm]
>
> Habe gerade nich so eine Ahnung, wie ich vorgehen könnte.
> also klar ist ja, dass [mm]c^{-1}[/mm] = [mm]c^4[/mm] ist.
Ja, da [mm] $c^5 [/mm] = 1$ ist.
> Doch muss ich dann einfach ausprobieren? oder gibt es
> einen besseren Weg?
Man kann erstmal nachdenken. Da das Minimalpolynom von $c$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] den Grad 4 hat, muss das Minimalpolynom von $c + [mm] c^{-1}$ [/mm] entweder Grad 1, 2 oder 4 haben: betrachte den Koerperturm [mm] $\IQ \subseteq \IQ(c [/mm] + [mm] c^{-1}) \subseteq \IQ(c)$.
[/mm]
Versuche also, ein Polynom von Grad 2 zu finden mit $c + [mm] c^{-1}$ [/mm] als Nullstelle. Dazu rechnest du $(c + [mm] c^{-1})^2$ [/mm] aus und versuchst es in der Form $a (c + [mm] c^{-1}) [/mm] + b$ mit $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] zu schreiben: dann ist [mm] $x^2 [/mm] - a x - b$ ein passendes Polynom.
Wenn das so ist, muss das Minimalpolynom von $c$ ueber [mm] $\IQ(c [/mm] + [mm] c^{-1})$ [/mm] ebenfalls Grad 2 haben. Versuche ein normiertes Polynom von Grad 2 mit Koeffizienten in $c + [mm] c^{-1}$ [/mm] zu finden, welches $c$ als Nullstelle hat; dieses ist dann das Minimalpolynom.
Und "versuchen zu finden" heisst, du musst rumprobieren. Mach dir die Finger schmutzig, indem du konkret rumrechnest und probierst.
LG Felix
|
|
|
|
