Minimalitätskriterium < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen sie, dass grad Q( [mm] \wurzel{3}, \wurzel{5}) [/mm] = Q( [mm] \wurzel{3}+ \wurzel{5})! [/mm]
|
Wie soll man das zeigen? Das Minimalitätskriterium soll dabei helfen?!?
Ich habe leider überhaupt keine Anhung. [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] \wurzel{5} [/mm] sind glaube ich geometrische Zahlen oder so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
[mm]\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\ldots)[/mm] ist der kleinste Oberkörper von [mm]\mathbb{Q}[/mm], der [mm]\alpha,\beta,\ldots[/mm] enthält.
Da nun [mm]L = \mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{3})[/mm] ein Körper ist, der [mm]\sqrt{5},\sqrt{3}[/mm] enthält, muß er wegen der Abgeschlossenheit bezüglich der Addition auch [mm]\sqrt{5} + \sqrt{3}[/mm] enthalten. Daher muß er auch den kleinsten Körper, der dieses Element enthält, also [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{5} + \sqrt{3})[/mm] enthalten: [mm]K \subseteq L[/mm].
Und jetzt mußt du noch die umgekehrte Inklusion zeigen: [mm]L \subseteq K[/mm]. Betrachte dazu die Elemente
[mm]u = \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right) \, , \ \ v = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \ \in K[/mm]
Bei [mm]v[/mm] wird die Abgeschlossenheit von [mm]K[/mm] bezüglich der Division verwendet. [mm]v[/mm] kannst du durch Erweitern des Bruches (3. binomische Formel) anders schreiben. Und jetzt berechne [mm]u+v, \, u-v \in K[/mm]
|
|
|
|
