Minimaler Flächeninhalt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Do 08.02.2007 | | Autor: | Marykris |
| Aufgabe | Für k>0 ist die Fukntion [mm] f_{k} [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x)=-kx^{3}+(k+1)x
[/mm]
Bestimme k so, dass die Fläche zwischen dem Graphen von [mm] f_{k} [/mm] und der 1. Achse minimalen Flächeninhalt hat. Berechne den minimalen Flächeninhalt. |
Ich hab ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, da ich nicht so ganz weiß wie ich anfangen soll.
Ich habe schon versucht die Nullstellen auszurechnen, aber da scheine ich mich auch immer wieder zu verrechnen.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Marykris,
> Für k>0 ist die Fukntion [mm]f_{k}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{k}(x)=-kx^{3}+(k+1)x[/mm]
>
> Bestimme k so, dass die Fläche zwischen dem Graphen von
> [mm]f_{k}[/mm] und der 1. Achse minimalen Flächeninhalt hat.
Leider ist mir nicht gang klar, was hier mit der "1ten Achse" gemeint ist, aber wenn dies die x-Achse ist, so würde ich hier über Punktsymmetrie argumentieren. Es gilt nämlich: [mm]f_k(-x)=kx^3-(k+1)x=-\left(-kx^3+(k+1)x\right)=-f(x)[/mm]. Wegen der Punktsymmetrie von [mm]f[/mm] ist die Gesamtfläche, die vom Graphen von [mm]f[/mm] und der x-Achse eingeschlossen wird das Doppelte der eingeschlossenen Fläche im 1ten Quadranten des Koordinatensystems. Jetzt zu den Nullstellen:
[mm]f_k\left(x^{\star}_i\right)=-kx^{\star}_i^3 + (k+1)x^{\star}_i\mathrel{\mathop =^!}0[/mm] mit [mm]i=1,2,3[/mm].
Eine solche Nullstelle ist sicherlich [mm]x^{\star}_3 = 0[/mm]. (Irgendwie war's auch zu erwarten, wo wir doch Punktsymmetrie zum Ursprung gezeigt haben.) Die Anderen [mm](j=1,2)[/mm] erhält man durch Umformen:
[mm]-kx^{\star}_j^2 + (k+1) = 0 \gdw \frac{k+1}{k}=x^{\star}_j^2[/mm]
Diese Gleichung ist für [mm]x^{\star}_1 = -\tfrac{k+1}{k}[/mm] oder [mm]x^{\star}_2 = \tfrac{k+1}{k}[/mm] erfüllt (eine Nullstelle "spiegelt sich" quasi in der Anderen "wieder" an der y-Achse). Wegen dem obigen Punktsymmetrie-Argument und der Voraussetzung [mm]k>0[/mm] reicht es also die Fläche [mm]\textstyle 2\int_0^{x^{\star}_2}{f_k(x)\,\operatorname{d}\!x}[/mm] zu minimieren:
[mm]2\int_0^{\frac{k+1}{k}}{\left(-kx^3+(k+1)x\right)\,\operatorname{d}\!x} = -2k\left.\frac{x^4}{4}\right|^{\frac{k+1}{k}}_0+(2k+2)\left.\frac{x^2}{2}\right|^{\frac{k+1}{k}}_0 = -2k\frac{\left(\frac{k+1}{k}\right)^4}{4}+(2k+2)\frac{\left(\frac{k+1}{k}\right)^2}{2}=:\kappa(k)[/mm]
Na ja, wenn ich mich nirgendwo verrechnet habe, müßtest du jetzt nur noch die Nullstellen von [mm]\kappa(k)[/mm] bestimmen und wegen [mm]k>0[/mm] die Positive nehmen.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 08.02.2007 | | Autor: | Marykris |
Danke erstmal für diesen Lösungsvorschlag!!
Aber ich habe noch zwei Fragen dazu.
1. Wie kann ich ausrechnen, dass eine der Nullstellen auf dem Ursprung liegt?
2. wenn [mm] x^{2}=\bruch{(k+1)}{k} [/mm] dann ist doch x=+ bzw - [mm] \wurzel{\bruch{k+1}{k}} [/mm] oder??
|
|
|
| |
|
Hallo Marykris!
> 1. Wie kann ich ausrechnen, dass eine der Nullstellen auf
> dem Ursprung liegt?
Du kannst bei Deiner Funktionsvorschrift den Term $x_$ ausklammern ...
> 2. wenn [mm]x^{2}=\bruch{(k+1)}{k}[/mm] dann ist doch x=+ bzw - [mm]\wurzel{\bruch{k+1}{k}}[/mm] oder??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
