Minima in (0,0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Di 01.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Für welchen Wert von [mm] \beta [/mm] ist der Punkt (0,0,0) ein Minimum für die Funktion:
F(x,y,z) = 2x² + [mm] \beta [/mm] y² + [mm] (\beta [/mm] - 1)*z²
a) [mm] \beta [/mm] < 1
b) [mm] \beta \ge [/mm] 0
c) [mm] \beta [/mm] < 2
d) [mm] \beta \ge [/mm] 1 |
Hallo alle zusammen!
Nun mein erster Versuch war, ob es eine Hesse Matrix für diesen Fall gibt, dem war leider nicht so. Dann bin ich auf die Idee gekommen, die Funktion als Ganze zu untersuchen, ich habe sie entsprechend abgeleitet und bin zu folgendem gekommen:
wobei [mm] \beta [/mm] = b
d/dx = 4x
d/dy = 2by
d/dz = 2*(b-1)*z
Um einen Extremwert zu haben, müssen alle partiellen Ableitungen = 0 sein, das Ergebnis ist eindeutig (0,0,0) - was micht bis jetzt eigentlich nicht weitergebracht hat.
Weiter geht es mit der 2. Ableitung:
d²/dx²= 4
d²/dy²= 2b
d²/dz²= 2*(b-1)
Um ein Minimum zu haben, müsste die 2. Ableitung doch jeweils immer kleiner als 0 sein, oder kann man dies nur um 2 Dimensionalen anwenden (wovon ich eigentlich ausgehe).
Denn sollte man hier auch versuchen olle 3 partiellen Ableitungen mit der Bedigung < 0 aufzulösen, so finde ich den Wert
b= 1 aus d²/dz², jedoch erfüllt dieser Wert d²/dy² nicht und somit gibt es auch keinen mit diesem Lösungsweg.
Gibt es hier noch eine alternative Methode zur Bestimmung des Minimums?
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 01.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Für welchen Wert von [mm]\beta[/mm] ist der Punkt (0,0,0) ein
> Minimum für die Funktion:
>
> F(x,y,z) = 2x² + [mm]\beta[/mm] y² + [mm](\beta[/mm] - 1)*z²
>
> a) [mm]\beta[/mm] < 1
> b) [mm]\beta \ge[/mm] 0
> c) [mm]\beta[/mm] < 2
> d) [mm]\beta \ge[/mm] 1
> Hallo alle zusammen!
>
> Nun mein erster Versuch war, ob es eine Hesse Matrix für
> diesen Fall gibt, dem war leider nicht so. Dann bin ich auf
> die Idee gekommen, die Funktion als Ganze zu untersuchen,
> ich habe sie entsprechend abgeleitet und bin zu folgendem
> gekommen:
>
> wobei [mm]\beta[/mm] = b
>
> d/dx = 4x
> d/dy = 2by
> d/dz = 2*(b-1)*z
Hallo,
ich glaube, du machst es zu kompliziert. Offensichtlich gilt F(0,0,0)=0.
Wenn das das Minimum sein soll, dann darf für kein einziges [mm] \beta [/mm] der Ausdruck
F(x,y,z) = 2x² + [mm]\beta[/mm] y² + [mm](\beta[/mm] - 1)*z² negativ werden.
Du musst also nur der Reihe nach für jede vorgegebene Möglichkeit für [mm] \beta [/mm] testen, ob sich bei günstiger (oder ungünstiger, je nach dem, wie man das sieht) Wahl von x,y und z negative Funktionswerte erreichen lassen.
F kann negativ werden, wenn [mm] \beta<1 [/mm] gilt (und z nur hinreichend groß gewählt wird).
Viele Grüße
Abakus
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> Um einen Extremwert zu haben, müssen alle partiellen
> Ableitungen = 0 sein, das Ergebnis ist eindeutig (0,0,0) -
> was micht bis jetzt eigentlich nicht weitergebracht hat.
> Weiter geht es mit der 2. Ableitung:
>
> d²/dx²= 4
> d²/dy²= 2b
> d²/dz²= 2*(b-1)
>
> Um ein Minimum zu haben, müsste die 2. Ableitung doch
> jeweils immer kleiner als 0 sein, oder kann man dies nur um
> 2 Dimensionalen anwenden (wovon ich eigentlich ausgehe).
> Denn sollte man hier auch versuchen olle 3 partiellen
> Ableitungen mit der Bedigung < 0 aufzulösen, so finde ich
> den Wert
> b= 1 aus d²/dz², jedoch erfüllt dieser Wert d²/dy² nicht
> und somit gibt es auch keinen mit diesem Lösungsweg.
> Gibt es hier noch eine alternative Methode zur Bestimmung
> des Minimums?
>
> Dankesehr
> lg
> Zuggel
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Hallo Zuggel,
> Weiter geht es mit der 2. Ableitung:
>
> d²/dx²= 4
> d²/dy²= 2b
> d²/dz²= 2*(b-1)
>
> Um ein Minimum zu haben, müsste die 2. Ableitung doch
> jeweils immer kleiner als 0 sein, oder kann man dies nur um
> 2 Dimensionalen anwenden (wovon ich eigentlich ausgehe).
Das gibt es auch für höhere Dimensionen:
![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix
> Denn sollte man hier auch versuchen olle 3 partiellen
> Ableitungen mit der Bedigung < 0 aufzulösen, so finde ich
Siehe hier: Mehrdimensionaler Fall
> den Wert
> b= 1 aus d²/dz², jedoch erfüllt dieser Wert d²/dy² nicht
> und somit gibt es auch keinen mit diesem Lösungsweg.
> Gibt es hier noch eine alternative Methode zur Bestimmung
> des Minimums?
>
> Dankesehr
> lg
> Zuggel
Gruß
MathePower
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