Min. Oberfläche, Blechgefäß < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Eine Fabrik stellt Blechgefäße vom Rauminhalt 15 l her, welche die Gestalt eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel auf seiner Seite haben. Bei welchen Ausmaßen ist der Materialverbrauch am kleinsten? |
Hallo,
es wird nach dem Minimum der Oberfläche gefragt:
O(r,h) = [mm] \pi [/mm] r² + [mm] 2\pi [/mm] rh + [mm] 2\pi [/mm] r² = [mm] \pi [/mm] r(2h+3r)
V = [mm] \pi [/mm] r²h + [mm] \bruch{2}{3}\pi [/mm] r³ -> h = [mm] \bruch{V - \bruch{2}{3}\pi r³}{\pi r²}
[/mm]
dies nun in O(r) einsetzen:
O(r) = [mm] \pi r[2(\bruch{V - \bruch{2}{3}\pi r³}{r² \pi})+3r] [/mm] = [mm] \pi r(\bruch{2V - \bruch{4}{3}\pi r³ + 3\pi r³}{\pi r²}) [/mm] = [mm] \bruch{\pi r}{1} \cdot{} \bruch{2V - \bruch{4}{3}\pi r³ + 3\pi r³}{\pi r²} [/mm] = [mm] \bruch{2V \pi r - \bruch{4}{3}\pi² r^4 + 3\pi² r^4}{\pi r²} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi r²}(2V \pi [/mm] r + [mm] \bruch{5}{3}\pi² r^4)
[/mm]
O'(r) = [mm] \bruch{-2\pi r}{\pi² r^4}(2V \pi [/mm] + [mm] 6\pi² [/mm] r³) = 0
r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{2V\pi}{6\pi²}} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{2\cdot{} 15 \pi}{6\pi²}} [/mm] = 1,17 dm = 11,7 cm
Es soll aber 14,2 cm rauskommen. Wo liegt denn mein Fehler?
Vielen Dank, itse.
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Hallo itse,
> Eine Fabrik stellt Blechgefäße vom Rauminhalt 15 l her,
> welche die Gestalt eines Zylinders mit einer aufgesetzten
> Halbkugel auf seiner Seite haben. Bei welchen Ausmaßen ist
> der Materialverbrauch am kleinsten?
> Hallo,
>
> es wird nach dem Minimum der Oberfläche gefragt:
>
> O(r,h) = [mm]\pi[/mm] r² + [mm]2\pi[/mm] rh + [mm]2\pi[/mm] r² = [mm]\pi[/mm] r(2h+3r)
>
> V = [mm]\pi[/mm] r²h + [mm]\bruch{2}{3}\pi[/mm] r³ -> h = [mm]\bruch{V - \bruch{2}{3}\pi r³}{\pi r²}[/mm]
>
> dies nun in O(r) einsetzen:
>
> O(r) = [mm]\pi r[2(\bruch{V - \bruch{2}{3}\pi r³}{r² \pi})+3r][/mm]
> = [mm]\pi r(\bruch{2V - \bruch{4}{3}\pi r³ + 3\pi r³}{\pi r²})[/mm]
> = [mm]\bruch{\pi r}{1} \cdot{} \bruch{2V - \bruch{4}{3}\pi r³ + 3\pi r³}{\pi r²}[/mm]
> = [mm]\bruch{2V \pi r - \bruch{4}{3}\pi² r^4 + 3\pi² r^4}{\pi r²}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi r²}(2V \pi[/mm] r + [mm]\bruch{5}{3}\pi² r^4)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
O(r) kann aber noch vereinfacht werden.
>
> O'(r) = [mm]\bruch{-2\pi r}{\pi² r^4}(2V \pi[/mm] + [mm]6\pi²[/mm] r³) = 0
Hier liegt der Fehler.
>
> r = [mm]\wurzel[3]{\bruch{2V\pi}{6\pi²}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{2\cdot{} 15 \pi}{6\pi²}}[/mm] = 1,17 dm = 11,7
> cm
>
> Es soll aber 14,2 cm rauskommen. Wo liegt denn mein
> Fehler?
Bei der Berechnung der Ableitung O'.
>
> Vielen Dank, itse.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > dies nun in O(r) einsetzen:
> > = [mm]\bruch{1}{\pi r²}(2V \pi[/mm] r + [mm]\bruch{5}{3}\pi² r^4)[/mm]
>
>
>
> O(r) kann aber noch vereinfacht werden.
>
> >
> > O'(r) = [mm]\bruch{-2\pi r}{\pi² r^4}(2V \pi[/mm] + [mm]6\pi²[/mm] r³) = 0
>
> Hier liegt der Fehler.
der Bruch [mm] \bruch{1}{\pi r²}, [/mm] kann wie ein konstanter Faktor gesehen werden, der bestehen bleibt, somit hätte ich mir die Ableitung sparen können. Oder irre ich mich da?
Somit muss die Klammer nach r differenziert werden:
O'(r) = 2V [mm] \pi [/mm] + [mm] 6\pi² [/mm] r³
das r fällt bei V weg und beim anderen Term um eins subtrahieren. Muss man bei dem [mm] \pi² [/mm] etwas beachten?
also dann so: O'(r) = 2V [mm] \pi [/mm] + [mm] 12\pi [/mm] r³ = 0
r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{2V \pi}{12 \pi}} [/mm] kommt aber auch nicht das gewünschte Ergebnis raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 20.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > > dies nun in O(r) einsetzen:
> > > = [mm]\bruch{1}{\pi r²}(2V \pi[/mm] r + [mm]\bruch{5}{3}\pi² r^4)[/mm]
>
> >
> >
> >
> > O(r) kann aber noch vereinfacht werden.
> >
> > >
> > > O'(r) = [mm]\bruch{-2\pi r}{\pi² r^4}(2V \pi[/mm] + [mm]6\pi²[/mm] r³) = 0
> >
> > Hier liegt der Fehler.
>
> der Bruch [mm]\bruch{1}{\pi r²},[/mm] kann wie ein konstanter Faktor
> gesehen werden,
Hallo, kann er nicht. Schließlich ist r (und damit auch [mm] r^2) [/mm] keine Konstante, sondern eine Variable.
Das anfängliche Ausklammern von r bringt dir hier gar nichts, weil du dann gezwungen bist, die Produktregel anzuwenden.
Lass die Oberfläche lieber als Summe von drei Teiflächen, die drei Summanden lassen sich problemlos nach r ableiten.
Viele Grüße
Abakus
> der bestehen bleibt, somit hätte ich mir
> die Ableitung sparen können. Oder irre ich mich da?
> auch
> Somit muss die Klammer nach r differenziert werden:
>
> O'(r) = 2V [mm]\pi[/mm] + [mm]6\pi²[/mm] r³
>
> das r fällt bei V weg und beim anderen Term um eins
> subtrahieren. Muss man bei dem [mm]\pi²[/mm] etwas beachten?
>
> also dann so: O'(r) = 2V [mm]\pi[/mm] + [mm]12\pi[/mm] r³ = 0
>
> r = [mm]\wurzel[3]{\bruch{2V \pi}{12 \pi}}[/mm] kommt aber auch
> nicht das gewünschte Ergebnis raus.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
> > Hallo,
> >
> > > > dies nun in O(r) einsetzen:
> > > > = [mm]\bruch{1}{\pi r²}(2V \pi[/mm] r + [mm]\bruch{5}{3}\pi² r^4)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > O(r) kann aber noch vereinfacht werden.
> > >
> > > >
> > > > O'(r) = [mm]\bruch{-2\pi r}{\pi² r^4}(2V \pi[/mm] + [mm]6\pi²[/mm] r³) = 0
> > >
> > > Hier liegt der Fehler.
> >
> > der Bruch [mm]\bruch{1}{\pi r²},[/mm] kann wie ein konstanter Faktor
> > gesehen werden,
>
> Hallo, kann er nicht. Schließlich ist r (und damit auch
> [mm]r^2)[/mm] keine Konstante, sondern eine Variable.
> Das anfängliche Ausklammern von r bringt dir hier gar
> nichts, weil du dann gezwungen bist, die Produktregel
> anzuwenden.
> Lass die Oberfläche lieber als Summe von drei Teiflächen,
> die drei Summanden lassen sich problemlos nach r ableiten.
also dann so:
O(r) = [mm] \pi [/mm] r² + [mm] 2\pi [/mm] r [mm] \cdot{} \bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r³}{\pi r²} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] r² = [mm] \pi [/mm] r² + [mm] \bruch{2V\pi r -\bruch{4}{3}\pi² r^4}{\pi r²} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] r²
O'(r) = [mm] 2\pi [/mm] r + [mm] \bruch{(2V\pi - 5\pi² r³)(\pi r²)-(2V\pi r - \bruch{4}{3}\pi² r^4)(2\pi r)}{\pi² r^4} [/mm] + [mm] 4\pi [/mm] r
Wie kann ich dies noch vereinfachen und kürzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 20.03.2008 | | Autor: | leduart |
> also dann so:
>
> O(r) = [mm]\pi[/mm] r² + [mm]2\pi[/mm] r [mm]\cdot{} \bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r³}{\pi r²}[/mm]
> + [mm]2\pi[/mm] r² = [mm]\pi[/mm] r² + [mm]\bruch{2V\pi r -\bruch{4}{3}\pi² r^4}{\pi r²}[/mm]
> + [mm]2\pi[/mm] r²
hier schon vereinfachen!
[mm] O=3\pir^2+2V/r-4\pi/3*r^2=..... [/mm] weiter zusammenfassen. erst dann ableiten.
Immer klammern und Brüche soweit es geht ausrechnen und kürzen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
O(r) = [mm] \pi [/mm] r² + [mm] 2\pi [/mm] $ r $ [mm] \cdot{} \bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r³}{\pi r²} [/mm] $
> + $ [mm] 2\pi [/mm] $ r² = $ [mm] \pi [/mm] $ r² + $ [mm] \bruch{2V\pi r -\bruch{4}{3}\pi² r^4}{\pi r²} [/mm] $
> + $ [mm] 2\pi [/mm] $ r²
ich habe es soweit vereinfacht:
O(r) = [mm] \pi [/mm] r² + [mm] \bruch{2V-4\pi r²}{3} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] r²
O'(r) = [mm] 2\pi [/mm] r - [mm] \bruch{6V-24+3\pi +3r}{9} [/mm] + [mm] 4\pi [/mm] r = [mm] 6\pi [/mm] r - [mm] \bruch{6V-24+3\pi +3r}{9}
[/mm]
-> r = [mm] \bruch{6V+24-3\pi}{24\pi} [/mm] = [mm] \bruch{6\cdot{}15+24-3\pi}{24\pi} [/mm] = 1,39 = 13,9 cm
Wo hab ich hier einen Fehler gemacht?, es sollte ja 14,2 cm rauskommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 20.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Da scheint etas schief gelaufen zu sein beim Einsetzen von $h_$ bzw. Umformen. Ich erhalte hier:
$$O(r) \ = \ [mm] \pi*r^2+2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}-\bruch{2}{3}*r\right)+2\pi*r^2 [/mm] \ = \ [mm] 3\pi*r^2+\bruch{2*V-4\pi*r^3}{r} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{5}{3}\pi*r^2+\bruch{2*V}{r}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Da scheint etas schief gelaufen zu sein beim Einsetzen von
> [mm]h_[/mm] bzw. Umformen. Ich erhalte hier:
>
> [mm]O(r) \ = \ \pi*r^2+2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}-\bruch{2}{3}*r\right)+2\pi*r^2 \ = \ 3\pi*r^2+\bruch{2*V-4\pi*r^3}{r} \ = \ ... \ = \ \bruch{5}{3}\pi*r^2+\bruch{2*V}{r}[/mm]
Ich komme nach vereinfachen und zusammenfassen auf folgendes:
O(r) = [mm] 3\pi [/mm] r² + [mm] \bruch{2V}{r} [/mm] - [mm] \bruch{4\pi r²}{3}
[/mm]
stimmt dies so? kann man es noch vereinfachen?
O'(r) = [mm] 6\pi [/mm] r - [mm] \bruch{2V}{r²} [/mm] + [mm] \bruch{24\pi r}{9}
[/mm]
[mm] 6\pi [/mm] r - [mm] \bruch{18V+24\pi r³}{9r²} [/mm] = 0 |*(9r²)
r³ + [mm] 24\pi [/mm] r³ = [mm] \bruch{18V}{54\pi}
[/mm]
Wie geht es dann weiter? Die 24V subtrahieren oder teilen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 20.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Zusammen,
>
> > Da scheint etas schief gelaufen zu sein beim Einsetzen von
> > [mm]h_[/mm] bzw. Umformen. Ich erhalte hier:
> >
> > [mm]O(r) \ = \ \pi*r^2+2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}-\bruch{2}{3}*r\right)+2\pi*r^2 \ = \ 3\pi*r^2+\bruch{2*V-4\pi*r^3}{r} \ = \ ... \ = \ \bruch{5}{3}\pi*r^2+\bruch{2*V}{r}[/mm]
>
> Ich komme nach vereinfachen und zusammenfassen auf
> folgendes:
>
> O(r) = [mm]3\pi[/mm] r² + [mm]\bruch{2V}{r}[/mm] - [mm]\bruch{4\pi r²}{3}[/mm]
>
> stimmt dies so? kann man es noch vereinfachen?
Offensichtlich ja (wenn du das Ergebnis meines Vorredners nicht einfach ignorierst).
In [mm]\bruch{2V}{r}[/mm] stimmen beide Ergebnisse überein.
Statt [mm] \bruch{5}{3}\pi*r^2 [/mm] hast du [mm]3\pi[/mm] r² - [mm]\bruch{4\pi r²}{3}[/mm].
Ich hoffe du erkennst, dass beides das Gleiche ist?
So musst du auch keine drei, sondern nur zwei Summanden ableiten.
Die nachfolgenden Bemerkungen beziehen sich nur auf weitere Fehler deines Lösungswegs. Vernümftig wäre nur eine Fortsetzung mit den Ergebnis meines Vorredners.
>
> O'(r) = [mm]6\pi[/mm] r - [mm]\bruch{2V}{r²}[/mm] + [mm]\bruch{24\pi r}{9}[/mm]
Die ersten beiden Ableitungen stimmen. Wieso hast du am Ende aus Plus plötzlich Minus gemacht? Der Bruch selbst ist im Prinzip richtig. Warum du ihn aber mit 3 erweitert hast ist mir schleierhaft.
>
> [mm]6\pi[/mm] r - [mm]\bruch{18V+24\pi r³}{9r²}[/mm] = 0 |*(9r²)
>
Da erhält man zunächst
[mm] 54\pi r^3-18V+24\pi r^3=0
[/mm]
jetzt hast du offensichlich +18V gerechnet
[mm] 54\pi r^3+24\pi r^3=18V
[/mm]
und dann durch [mm] 54\pi [/mm] geteilt:
[mm] r^3+\bruch{24}{54}r^3=\bruch{18V}{54\pi}
[/mm]
> r³ + [mm]24\pi[/mm] r³ = [mm]\bruch{18V}{54\pi}[/mm]
>
> Wie geht es dann weiter? Die 24V subtrahieren oder teilen?
Weder noch. Aus beiden Summanden müsste man [mm] r^3 [/mm] ausklammern, dann durch die Klammer teilen. Der zweite Sumand ist ja aber fehlerhaft.
Viele Grüße
Abakus
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
> > Hallo Zusammen,
> >
> > > Da scheint etas schief gelaufen zu sein beim Einsetzen von
> > > [mm]h_[/mm] bzw. Umformen. Ich erhalte hier:
> > >
> > > [mm]O(r) \ = \ \pi*r^2+2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}-\bruch{2}{3}*r\right)+2\pi*r^2 \ = \ 3\pi*r^2+\bruch{2*V-4\pi*r^3}{r} \ = \ ... \ = \ \bruch{5}{3}\pi*r^2+\bruch{2*V}{r}[/mm]
>
> >
> > Ich komme nach vereinfachen und zusammenfassen auf
> > folgendes:
> >
> > O(r) = [mm]3\pi[/mm] r² + [mm]\bruch{2V}{r}[/mm] - [mm]\bruch{4\pi r²}{3}[/mm]
> >
> > stimmt dies so? kann man es noch vereinfachen?
> Offensichtlich ja (wenn du das Ergebnis meines Vorredners
> nicht einfach ignorierst).
> In [mm]\bruch{2V}{r}[/mm] stimmen beide Ergebnisse überein.
> Statt [mm]\bruch{5}{3}\pi*r^2[/mm] hast du [mm]3\pi[/mm] r² - [mm]\bruch{4\pi r²}{3}[/mm].
>
> Ich hoffe du erkennst, dass beides das Gleiche ist?
leider hab ich dies nicht gesehen, nun versteh ich auch wie Loddar auf das Ergebnis gekommen ist.
> So musst du auch keine drei, sondern nur zwei Summanden
> ableiten.
somit komm ich auf das gleiche wie Loddar, nämlich:
O(r) = [mm] \bruch{5}{3}\pi [/mm] r² + [mm] \bruch{2V}{r}
[/mm]
> Die nachfolgenden Bemerkungen beziehen sich nur auf weitere
> Fehler deines Lösungswegs. Vernümftig wäre nur eine
> Fortsetzung mit den Ergebnis meines Vorredners.
dann man ich das:
die Ableitung wäre dann:
O'(r) = [mm] \bruch{10}{3}\pi [/mm] r - [mm] \bruch{2V}{r²}
[/mm]
O''(r) = [mm] \bruch{10}{3}\pi [/mm] + [mm] \bruch{4V}{r³}
[/mm]
nun setze ich O'(r) = 0 -> [mm] \bruch{10}{3}\pi [/mm] r - [mm] \bruch{2V}{r²} [/mm] = 0
Wie löse ich dies nun nach r auf, es müsste dann 14,2 cm rauskommen.
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Hallo itse,
> > > Hallo Zusammen,
> > >
> > > > Da scheint etas schief gelaufen zu sein beim Einsetzen von
> > > > [mm]h_[/mm] bzw. Umformen. Ich erhalte hier:
> > > >
> > > > [mm]O(r) \ = \ \pi*r^2+2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}-\bruch{2}{3}*r\right)+2\pi*r^2 \ = \ 3\pi*r^2+\bruch{2*V-4\pi*r^3}{r} \ = \ ... \ = \ \bruch{5}{3}\pi*r^2+\bruch{2*V}{r}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich komme nach vereinfachen und zusammenfassen auf
> > > folgendes:
> > >
> > > O(r) = [mm]3\pi[/mm] r² + [mm]\bruch{2V}{r}[/mm] - [mm]\bruch{4\pi r²}{3}[/mm]
> >
> >
> > > stimmt dies so? kann man es noch vereinfachen?
> > Offensichtlich ja (wenn du das Ergebnis meines
> Vorredners
> > nicht einfach ignorierst).
> > In [mm]\bruch{2V}{r}[/mm] stimmen beide Ergebnisse überein.
> > Statt [mm]\bruch{5}{3}\pi*r^2[/mm] hast du [mm]3\pi[/mm] r² -
> [mm]\bruch{4\pi r²}{3}[/mm].
> >
> > Ich hoffe du erkennst, dass beides das Gleiche ist?
>
> leider hab ich dies nicht gesehen, nun versteh ich auch wie
> Loddar auf das Ergebnis gekommen ist.
>
> > So musst du auch keine drei, sondern nur zwei Summanden
> > ableiten.
>
> somit komm ich auf das gleiche wie Loddar, nämlich:
>
> O(r) = [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] r² + [mm]\bruch{2V}{r}[/mm]
>
> > Die nachfolgenden Bemerkungen beziehen sich nur auf weitere
> > Fehler deines Lösungswegs. Vernümftig wäre nur eine
> > Fortsetzung mit den Ergebnis meines Vorredners.
>
> dann man ich das:
>
> die Ableitung wäre dann:
>
> O'(r) = [mm]\bruch{10}{3}\pi[/mm] r - [mm]\bruch{2V}{r²}[/mm]
>
> O''(r) = [mm]\bruch{10}{3}\pi[/mm] + [mm]\bruch{4V}{r³}[/mm]
>
> nun setze ich O'(r) = 0 -> [mm]\bruch{10}{3}\pi[/mm] r -
> [mm]\bruch{2V}{r²}[/mm] = 0
>
> Wie löse ich dies nun nach r auf, es müsste dann 14,2 cm
> rauskommen.
Multipliziere die ganze Gleichung mit [mm]r^{2}[/mm] durch. Bringe dann das ohne r auf eine Seite und das mit r auf die andere und ziehe daraus die 3. Wurzel.
Das Ergebnis kommt in dm heraus, was ja kein Wunder ist, denn [mm]1 \ l = 1 \ dm^{3}[/mm].
Gruß
MathePower
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