Metrischer Raum -unvollständig < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bezeichne [mm] C^{1} [/mm] ([a,b]) := {f : (a,b) [mm] \to \IR [/mm] , f,f' stetig auf [a,b] fortsetzbar}.
Weisen Sie nach, dass [mm] (C^{1} [/mm] ([a,b]), d) mit der Metrik d(f,g) := [mm] max_{x \in [a,b]} [/mm] (|f(x) - g(x)|) für f,g [mm] \in C^{1} [/mm] ([a,b]) nicht vollständig ist. |
Hallo,
ich sitze momentan an dieser Aufgabe und weiß einfach nicht, wie ich sie lösen kann.
Ich dachte, dass die Unvollständigkeit von [mm] (C^{1} [/mm] ([a,b]), d) damit zusammenhängen könnte, dass in [mm] C^{1} [/mm] quasi alle Elemente aus dem abgeschlossenen Intervall [a,b] sind, jedoch f nur die Elemente aus dem offenen Intervall (a,b) abbildet, und dass somit Folgen in [mm] (C^{1} [/mm] ([a,b]), d) existieren, die nicht in dem metrischen Raum konvergieren?
Über Hilfestellungen zur Vorgehensweise und Lösungsfindung wäre ich Ihnen sehr dankbar.
Vielen Dank im Vorraus,
mathehase
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: finde eine Folge [mm] (f_n) [/mm] in $ [mm] C^{1} [/mm] ([a,b])$, die auf [a,b] gleichmäßig konvergiert, deren Grenzfunton aber nicht stetig differenzierbar ist.
FRED
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Danke für die Antwort erstmal ;)
also für gleichmäßige konvergenz muss ja gelten |fn-f| [mm] \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty. [/mm] und f' soll jetzt nicht mehr stetig differenzierbar sein. Aber wie genau finde ich da eine Folge?
Was mir einfällt wäre fn= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für eine glm konvergente folge, aber das funktioniert mit f dann nicht (ich weiß auch nicht genau, wie ich f bestimmen kann, wenn ich eine folge habe. Wie geht das?).
Als Definition haben wir in der Vorlesung:
Die Grenzfunktion f einer auf einem abgeschlossenen Intervall gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen [mm] f_n [/mm] ist stetig.
aber ob f stetig ist, ist ja eingetlich egal, es kommt doch nur auf f' an, oder?
Ich komme da einfach nicht weiter. Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich auf diese Funktion kommen könnte?
Liebe Grüße
Mathehase
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 03.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie genau finde ich da eine Folge?
Och würde es so machen: finde eine stetige, aber nicht diffbare Funktion und approximiere diese durch stetig diffbare. Zeichnung hilft.
SEcki
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Hi,
danke für die Antwort.
wenn ich z.b. f(x)=|x| nehme, also die Betragsfunktion, dann ist f ja stetig aber f' in x=0 nicht stetig diffbar. Aber wie kann ich die approximieren durch stetig diffbare. Zur approximation hatten wir lediglich taylor-polynome bahndelt. Wäre die entwicklungsstelle dann bei x=0?
Ich bräuchte noch hilfe, wie ich jetzt weitermachen kann. 
Danke
Mathehase
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 04.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> wenn ich z.b. f(x)=|x| nehme, also die Betragsfunktion,
> dann ist f ja stetig aber f' in x=0 nicht stetig diffbar.
Nein, f' existiert gar nicht erst.
> Aber wie kann ich die approximieren durch stetig diffbare.
Mal doch mal was hin, wie man das machen könnte. Überlege dir mal selber, wie man das approximieren könnte. Als Tip: [m]|x|=\sqrt{x^2}[/m]. Und jetzt selber werkeln!
SEcki
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Hallo,
ok ich habe jetzt mal die funktion und die ableitung aufgemalt. ich beschreibe das mal, weil ich hier ja kein bild zeigen kann. also die funktion sieht aus wie ein "V" mit der spitze im ursprung und die ableitung ist für x<0 =-1 und für x>0=1, was bedeutet, dass diese in x=0 nicht stetig diffbar ist, weil sie dort nicht diffbar ist. die funktion selber sieht ja so ähnlich wie eine parabel aus, aber halt nicht so "rund". Die ableitung ließe sich wahrscheinlich durch eine Funktion mit logistischem wachstum approximieren. aber da bin ich mir nicht sicher mit meinen überlegungen.
Aber wie mache ich jetzt weiter? Ich denke da schon so lange drüber nach und komme einfach nicht auf den nächsten Schritt, den ich machen muss.
Ich bräuchte noch einen Tipp, denke ich. Kann jemand helfen? Danke
Mathehase
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Do 05.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> funktion selber sieht ja so ähnlich wie eine parabel aus,
> aber halt nicht so "rund". Die ableitung ließe sich
> wahrscheinlich durch eine Funktion mit logistischem
> wachstum approximieren.
Wessen Ableitung?
> Ich bräuchte noch einen Tipp, denke ich. Kann jemand
> helfen?
Die Lösung steht hier im Thread.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mo 02.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Bezeichne [mm] C^{1}([a,b]):=\{f:(a,b)\to\IR, f, f'\mbox{stetig auf }[a,b] \mbox{ fortsetzbar}\}
[/mm]
> Weisen Sie nach, dass [mm] (C^{1}([a,b]), [/mm] d) mit der Metrik
> [mm] $d(f,g):=\max_{x\in(a,b)}(|f(x) [/mm] - g(x)|)$ für [mm] $f,g\in C^{1}([a,b])$ [/mm] nicht vollständig ist.
> Hallo,
>
> ich sitze momentan an dieser Aufgabe und weiß einfach
> nicht, wie ich sie lösen kann.
>
> Ich dachte, dass die Unvollständigkeit von [mm](C^{1}[/mm] ([a,b]),
> d) damit zusammenhängen könnte, dass in [mm]C^{1}[/mm] quasi alle
> Elemente aus dem abgeschlossenen Intervall [a,b] sind,
> jedoch f nur die Elemente aus dem offenen Intervall (a,b)
> abbildet, und dass somit Folgen in [mm](C^{1}[/mm] ([a,b]), d)
> existieren, die nicht in dem metrischen Raum konvergieren?
Bemerkung: Man wählt ein offenes Intervall, weil man typischerweise Diff'barkeit über die Gleichheit der Grenzwerte der links- und rechtsseitigen Differenzenquotienten definiert. Man nimmt die stetige Fortsetzbarkeit hinzu, weil das die Existenz des Maximums sichert und so die Metrik wohldefiniert ist.
Für zwei Funktionen $f,g$ bedeutet [mm] d(f,g)<\epsilon, [/mm] dass sich über das ganze Intervall $(a,b)$ hinweg die Funktionswerte um weniger als [mm] $\epsilon$ [/mm] unterscheiden: Denk Dir z.B. den Graphen von $f$ um [mm] \pm\epsilon [/mm] nach oben und unten verschoben, so dass der [mm] "$\epsilon$-Schlauch" [/mm] um $f$ herum sichtbar wird. Der Graph eines $g$, welches mit $f$ die obige Relation erfüllt, verläuft dann vollständig in diesem Schlauch.
Da aber in der Definition der Metrik nur die Funktionswerte der Funktionen (nicht aber die der Ableitungen) eingehen, überträgt sich bei einer Folge [mm] f_n [/mm] von Funktionen nur deren Stetigkeit auf die Stetigkeit der Grenzfunktion.
Denn [mm] $\max_{x\in(a,b)}(|f_n(x) [/mm] - [mm] f_m(x)|)\to0$ [/mm] für [mm] $\min(n,m)\to\infty$ [/mm] impliziert nicht gleichzeitig [mm] $\max_{x\in(a,b)}(|f'_n(x) [/mm] - [mm] f'_m(x)|)\to0$. [/mm]
LG
gfm
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:58 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Mathehase |
Hallo,
vielen Dank für den Tipp, aber WIE bekomme ich denn jetzt eine Folge, die nicht innerhalb der Metrik konvergiert? Kann ich ein Gegenbeispiel finden?
Leider habe ich nochimmer keinen wirklichen Ansatz.
über weitere Hilfestellung wär ich sehr dankbar,
Viele Grüße,
Mathehase
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mi 04.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
> vielen Dank für den Tipp, aber WIE bekomme ich denn jetzt
> eine Folge, die nicht innerhalb der Metrik konvergiert?
> Kann ich ein Gegenbeispiel finden?
>
> Leider habe ich nochimmer keinen wirklichen Ansatz.
>
Was hältst Du von einem [mm] f_n(x), [/mm] welches bei x=b+1/n einen Pol hat?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Mi 04.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Was hältst Du von einem [mm]f_n(x),[/mm] welches bei x=b+1/n einen
> Pol hat?
Nichts.
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mi 04.05.2011 | | Autor: | gfm |
> > Was hältst Du von einem [mm]f_n(x),[/mm] welches bei x=b+1/n einen
> > Pol hat?
>
> Nichts.
Jau. Hast recht. Was hältst Du zu einer beliebigen stetigen Funktion auf [a,b] mit Knick deren Bernsteinpolynomapproximationsfolge zu nehmen?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Was hältst Du von einem [mm]f_n(x),[/mm] welches bei x=b+1/n einen
> > > Pol hat?
> >
> > Nichts.
>
> Jau. Hast recht. Was hältst Du zu einer beliebigen
> stetigen Funktion auf [a,b] mit Knick deren
> Bernsteinpolynomapproximationsfolge zu nehmen?
Ich bin zwar nicht SEcki, aber davon halte ich viel:
ist f [mm] \in [/mm] C[a,b] , so gibt es nach dem Approximationssatz von Weierstraß eine
Folge von Polynomen [mm] (f_n), [/mm] die auf [a,b] gleichmäßig gegen f konv. Es gilt also:
[mm] d(f_n,f) \to [/mm] 0
FRED
>
> LG
>
> gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mi 04.05.2011 | | Autor: | gfm |
> > > > Was hältst Du von einem [mm]f_n(x),[/mm] welches bei x=b+1/n einen
> > > > Pol hat?
> > >
> > > Nichts.
> >
> > Jau. Hast recht. Was hältst Du zu einer beliebigen
> > stetigen Funktion auf [a,b] mit Knick deren
> > Bernsteinpolynomapproximationsfolge zu nehmen?
>
> Ich bin zwar nicht SEcki, aber davon halte ich viel:
>
> ist f [mm]\in[/mm] C[a,b] , so gibt es nach dem Approximationssatz
> von Weierstraß eine
>
> Folge von Polynomen [mm](f_n),[/mm] die auf [a,b] gleichmäßig
> gegen f konv. Es gilt also:
>
> [mm]d(f_n,f) \to[/mm] 0
>
Danke.
Und [mm] \wurzel{(x-(a+b)/2)^2+1/n} [/mm] geht auch, oder? :)
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Was hältst Du von einem [mm]f_n(x),[/mm] welches bei x=b+1/n einen
> > > > > Pol hat?
> > > >
> > > > Nichts.
> > >
> > > Jau. Hast recht. Was hältst Du zu einer beliebigen
> > > stetigen Funktion auf [a,b] mit Knick deren
> > > Bernsteinpolynomapproximationsfolge zu nehmen?
> >
> > Ich bin zwar nicht SEcki, aber davon halte ich viel:
> >
> > ist f [mm]\in[/mm] C[a,b] , so gibt es nach dem Approximationssatz
> > von Weierstraß eine
> >
> > Folge von Polynomen [mm](f_n),[/mm] die auf [a,b] gleichmäßig
> > gegen f konv. Es gilt also:
> >
> > [mm]d(f_n,f) \to[/mm] 0
> >
>
> Danke.
>
> Und [mm]\wurzel{(x-(a+b)/2)^2+1/n}[/mm] geht auch, oder? :)
Ja
FRED
>
> LG
>
> gfm
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