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hi an alle,
Es seien X, Y metrische Räume, f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung.
Zeigen Sie, dass f genau dann stetig auf X ist, wenn für jede abgeschlossene
Menge A [mm] \subset [/mm] Y dass Urbild [mm] f^{-1}(A) \subset [/mm] X abgeschlossen ist.
Kann mir jeamand sagen wie ich hiermit anfangen kann??
thx schonmal im vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mi 15.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> hi an alle,
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> Es seien X, Y metrische Räume, f : X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung.
> Zeigen Sie, dass f genau dann stetig auf X ist, wenn für
> jede abgeschlossene
> Menge A [mm]\subset[/mm] Y dass Urbild [mm]f^{-1}(A) \subset[/mm] X
> abgeschlossen ist.
>
> Kann mir jeamand sagen wie ich hiermit anfangen kann??
Wie habt ihr stetig definiert? bzw.: welche Aequivalenzen kennt ihr? (Normalerweise definiert man Stetigkeit auch durch Urbilder offener Mengen sind offen - aber dann wird da ja trivial.)
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, ich gehe mal davon aus, dass ihr die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen so definiert habt, dass die Urbilder offener Mengen wieder offen sind.
Ist dann $A [mm] \subset [/mm] Y$ abgeschlossen, so ist [mm] $A^c$ [/mm] offen und daher auch: [mm] $f^{-1}(A^c)$, [/mm] da $f$ stetig ist. Nun gilt (mache dir das bitte klar):
[mm] $f^{-1}(A^c) [/mm] = [mm] \left( f^{-1}(A) \right)^c$,
[/mm]
d.h. [mm] $\left(f^{-1}(A) \right)^c$ [/mm] ist offen in $X$, wodurch [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] in $X$ abgeschlossen ist.
Viele Grüße
Julius
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