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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] Maßraum. Wir definieren für A,b: [mm] d(A,B)=min\{\mu (A \Delta B), 1\}, [/mm] mit A [mm] \Delta [/mm] B=(A [mm] \backslash B)\cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) ist.
Jetzt soll man zeigen, dass das eine Pesudo-Metrik ist. Das hab ich auch hinbekommen.
Dann bei b) steht:
Sei [A]={B [mm] \in \mathcal{A}| [/mm] d(A,B)=0}. Zeigen Sie: Die Relation ist eine Äquivalenzrelation und auf den Äquivalenzklassen ist d eine Metrik. |
So und bei b) hab ich jetzt eine Frage.
Das A [mm] \sim [/mm] B [mm] \gdw [/mm] d(A,B)=0 Äquivalenzrelation ist, konnte ich zeigen. Aber was meinen die jetzt damit das d auf den Äquivalenzklassen eine Äquivalenzklasse ist, soll man dann d([A],[B]) betrachten, oder d(A,B) wobei A und B jeweils Repräsentanten einer Metrik sind?
Also man muss ja zeigen, dass wenn d(A,B)=0 gilt schon folgt das A=B ist.
Wenn ich schreibe d(A,B)=0 und mit A,B Repräsentanten der Äquivalenzklassen meine, dann weiß ich ja das A und B in derselben Äquivalenzklasse liegen und deswegen [A]=[B] gilt.
Oder muss man irgendwie d([A],[B]) betrachten?
Danke schonmal für die Hilfe.
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Huhu,
die Aufgabe ist unsauber gestellt, und daran scheiterst du gerade.
Deine Interpretation ist aber korrekt 
Es wird natürlich eine neue Metrik auf den Äquivalenzklassen definiert vermöge
$d([A],[B]) = d(A,B)$
und für die sollst du das nun zeigen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
Danke für deine schnelle Antwort. Dann folgt es ja direkt aus der Definition.
Ich hab mich jetzt an die nächste Teilaufgabe gesetzt und da komm ich auch nicht weiter. Also man soll zeigen, dass folgende Abbildungen wohldefiniert und stetig sind:
a) ([A],[B]) [mm] \mapsto [/mm] [A [mm] \cup [/mm] B]
b) ([A],[B]) [mm] \mapsto [/mm] [A [mm] \cap [/mm] B]
c) ([A],[B]) [mm] \mapsto [/mm] [A [mm] \Delta [/mm] B]
Hab mir erstmal nur die a) angeguckt.
Zur wohldefiniertheit, da muss ich doch zeigen: wenn [A1]=[A2], [B1]=[B2] dann muss auch [A1 [mm] \cup [/mm] B1]=[A2 [mm] \cup [/mm] B2] gelten, oder?
Also aus [mm] \mu(A1 \Delta [/mm] A2)=0 und [mm] \mu [/mm] (B1 [mm] \Delta [/mm] B2)=0 muss gelten: [mm] \mu [/mm] (A1 [mm] \cup [/mm] B1 [mm] \Delta [/mm] A2 [mm] \cup [/mm] B2)=0.
Stimmt es das man das so zeigen muss? ich kreig das nämlich irgendwie nicht zusammengebastelt.
Viele Grüße
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Huhu,
> Hab mir erstmal nur die a) angeguckt.
> Zur wohldefiniertheit, da muss ich doch zeigen: wenn
> [A1]=[A2], [B1]=[B2] dann muss auch [A1 [mm]\cup[/mm] B1]=[A2 [mm]\cup[/mm]
> B2] gelten, oder?
Genau
> Also aus [mm]\mu(A1 \Delta[/mm] A2)=0 und [mm]\mu[/mm] (B1 [mm]\Delta[/mm] B2)=0 muss
> gelten: [mm]\mu[/mm] (A1 [mm]\cup[/mm] B1 [mm]\Delta[/mm] A2 [mm]\cup[/mm] B2)=0.
> Stimmt es das man das so zeigen muss?
Genau
> ich kreig das nämlich irgendwie nicht zusammengebastelt.
Mach dir erstmal klar, was das [mm] \Delta, [/mm] also die symmetrische Differenz, eigentlich bedeutet.
Das sind alle diejenigen Elemente, die NICHT in beiden Mengen liegen.
Wenn diese Differenz nun also Null ist, heisst das, beide Mengen unterscheiden sich letztlich nur um eine Nullmenge!
Logischerweise unterscheiden sich dann auch ihre Vereinigungen nur um eine Nullmenge!
Kannst du das irgendwie in Formeln bringen?
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:56 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
hey hier nochmal :)
also ich hab hier nochmal rum probiert, mit mengenoperationen krieg ich das irgendwie nicht hin. hab mir das jetzt mal aufgemalt und es gilt doch: A1 [mm] \Delta [/mm] A2 [mm] \cup [/mm] B1 [mm] \Delta [/mm] B2 = [mm] A1\cup [/mm] B1 [mm] \Delta [/mm] A2 [mm] \cup [/mm] B2 oder? Also ich kann das nicht durch Mengenoperationen ineinander überführen, nur durch aufzeichnen. also ist [mm] \mu(A1\cup [/mm] B1 [mm] \Delta [/mm] A2 [mm] \cup [/mm] B2) =0 da Vereinigung von zwei Nullmengen. Kann ich die Gleichheit oben irgendwie anders zeigen??? ich find keine passenden rechenregeln für das [mm] \Delta. [/mm]
Und wie könnte ich die stetigkeit zeigen? da weiß ich auch nicht weiter. Muss ich da das epsilon delta kriterium nehmen und die metrik benutzen??
liebe grüße, aly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey hier nochmal :)
> also ich hab hier nochmal rum probiert, mit
> mengenoperationen krieg ich das irgendwie nicht hin. hab
> mir das jetzt mal aufgemalt und es gilt doch: A1 [mm]\Delta[/mm] A2
> [mm]\cup[/mm] B1 [mm]\Delta[/mm] B2 = [mm]A1\cup[/mm] B1 [mm]\Delta[/mm] A2 [mm]\cup[/mm] B2 oder? Also
> ich kann das nicht durch Mengenoperationen ineinander
> überführen, nur durch aufzeichnen.
das finde ich komisch. Selbst, wenn Du noch ungeübt im Rechnen mit Mengen bist (normalerweise lernt man direkt zum Studienbeginn gewisse Regeln, unter anderem auch sowas wie de Morgan), so solltest Du doch wissen, wie man, wenn man solch eine Gleichheit behauptet (meinetwegen auch durch eine Zeichnung inspiriert - also Venn-Diagramme), versuchen kann, sie zu beweisen:
$$A=B$$
heißt doch nichts anderes, als dass man die folgenden zwei Mengenbeziehungen nachzuweisen hat:
$$1.) [mm] \;\; [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B$$
und
$$2.) [mm] \;\; [/mm] B [mm] \subseteq A\,.$$
[/mm]
Beispiel:
Ich behaupte, dass gilt
$$A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)=(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap C)\,.$$
[/mm]
Beweis:
1.) Ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup C)\,,$ [/mm] so folgt $x [mm] \in [/mm] A$ und ($x [mm] \in [/mm] B$ oder $x [mm] \in [/mm] C$). Stets gilt also $x [mm] \in A\,,$ [/mm] und nun kann noch entweder $x [mm] \in [/mm] B$ oder halt $x [mm] \notin [/mm] B$ gelten. Wenn $x [mm] \in B\,,$ [/mm] so ist $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ und wegen $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C))$ gilt dann $x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap C))\,.$ [/mm]
Im Falle $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] B$ muss wegen $x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ dann schon $x [mm] \in [/mm] C$ gelten und damit
$$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap C))\,,$$
[/mm]
also gilt auch in diesem und damit in allen Fällen
$$x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap C))\,.$$
[/mm]
Also gilt
$$(A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)) [mm] \subseteq [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap C))\,.$$
[/mm]
2.) Zu
$$((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup C))\,:$$
[/mm]
Wegen $B [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ und $C [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ ist diese Teilmengenbeziehung trivial.
Jetzt bei Dir:
> A1 [mm]\Delta[/mm] A2 [mm]\cup[/mm] B1 [mm]\Delta[/mm] B2 = [mm]A1\cup[/mm] B1 [mm]\Delta[/mm] A2 [mm]\cup[/mm] B2
Du musst hier schonmal deutlich klar machen, wie diese Gleichung zu lesen ist. Denn $A [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ ist nicht das gleiche wie $(A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \cup C\,.$
[/mm]
(Man kann es sich an Venn-Diagrammen veranschaulichen, oder man sucht nach konkreten Beispielen. Wie diese aussehen sollten oder auch nicht, ist aber auch anhand von Venn-Diagrammen ersichtlich!)
Wenn Du obige Gleichheit beweisen willst, gibt es sicher mehrere Möglichkeiten:
1. Strikt die Definition $A [mm] \Delta [/mm] B=(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A)$ ($=(A [mm] \cup B)\setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$) benutzen und versuchen, die "bekannten Rechenregeln für Operationen wie [mm] $\cup,\;\cap\text{ und }\setminus$" [/mm] anzuwenden, bis man zum Ziel gelangt.
2. Du zeigst:
a) Die linke Seite ist Teilmenge der rechten
und
b) die rechte ist Teilmenge der linken.
Dabei wäre es vielleicht auch nicht verkehrt, sich klarzumachen, dass
$$A [mm] \Delta B\;(=B \Delta [/mm] A)=(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus A)=\{x: \text{ entweder ist }x \in A \text{ oder es ist }x \in B\}\,.$$
[/mm]
Beachte, dass dort ein "entweder oder" und nicht nur ein "oder" steht. Das ist mehr als wesentlich!
Naja, da diese Antwort nur einen Teil Deiner Frage beantwortet, stelle ich auch den Status der Frage mal entsprechend ein 
P.S.:
Such' auch ruhig mal im Internet nach (naiver) Mengenlehre. Und bei diesem [mm] $\Delta$ [/mm] spricht man wegen einer (fast) offensichtlichen Struktur (die man auch aus dem Venn-Diagramm erkennt) bei
$$A [mm] \Delta B\;(=B \Delta [/mm] A)$$
von der "![[]](/images/popup.gif) symmetrischen Differenz" zwischen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Fr 07.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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