Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mi 24.04.2013 | | Autor: | love |
Hallo Leute, ich musste zeigen,dass es sich hierbei um eine Metrik handelt:
d(x,y)= |x-y| und
|x|+|y| habe ich gemacht.. und die zweite Teilaufgabe lautet :
Geben sie eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] an,die bezüglich der euklidschen Metrik konvergiert,aber bezüglich der Metrik d divergiert, und begründen Sie.
Und ich komme hier garnicht mehr weiter.Da ist nur d(x,y) angegebe,wie kann ich hier Folgen bilden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute, ich musste zeigen,dass es sich hierbei um eine
> Metrik handelt:
> d(x,y)= |x-y| und
> |x|+|y| habe ich gemacht..
da fehlt die Menge, auf welcher das eine Metrik sein soll. Ist [mm] $\IR^2$ [/mm]
gemeint? (Ich schließe das aus dem Folgenden.) Zudem hoffe ich, dass ihr
mit [mm] $|.|\,$ [/mm] dann - wie oft üblich- einfach [mm] $\|.\|_2$ [/mm] meint?!
> und die zweite
> Teilaufgabe lautet :
> Geben sie eine Folge im [mm]\IR^2[/mm] an,die bezüglich der
> euklidschen Metrik konvergiert,
Euklidischen Metrik! Das ist doch dann $d(x,y):=|x-y|$!
> aber bezüglich der Metrik
> d divergiert,
Damit meinst Du nun $d(x,y):=|x|+|y|$?
> und begründen Sie.
> Und ich komme hier garnicht mehr weiter.Da ist nur d(x,y)
> angegebe,wie kann ich hier Folgen bilden?
Mit [mm] $x_n=(r_n,\,s_n)$ [/mm] mit reellwertigen Folgen [mm] $(r_n)_n$ [/mm] und [mm] $(s_n)_n$ [/mm] ist dann
[mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
(Quasi: [mm] $(r_n)_n$: [/mm] Folge der ersten Komponente von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und
[mm] $(s_n)_n$: [/mm] Folge der zweiten Komponente von [mm] $(x_n)_n$.)
[/mm]
Genauer gesagt: Genau dann ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge im [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] wenn es
Folgen [mm] $(r_n)_n$ [/mm] und [mm] $(s_n)_n$ [/mm] - beides Folgen in [mm] $\red{\;\IR\;}$ [/mm] - so gibt,
dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] halt [mm] $x_n=(r_n,s_n)$ [/mm] gilt.
Idee: [mm] $(1+1/n,\,0) \to [/mm] (1,0)$ gilt bzgl. der euklidischen Metrik. (Beweis?)
(Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17.2!)
Sei nun $d(x,y):=|x|+|y|$ für $x,y [mm] \red{\;\in\; \IR^2\,,}$ [/mm] dann gilt für alle $(r,s) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
[mm] $$d(\,(1+1/n,\,0),\,(r,\,s)\,)=|(1+1/n,\,0)|+|(r,\,s)| \ge 1\,.$$
[/mm]
(Warum? Ich gehe hier übrigens davon aus, dass ihr für $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] definiert
habt [mm] $|(r,s)|:=\sqrt{r^2+s^2}\,.$)
[/mm]
Was folgt daraus?
P.S. Sofern ich die Metrik mit [mm] $d(x,y):=|x|+|y|=\|x\|_2+\|y\|_2=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2}+\sqrt{{y_1}^2+{y_2}^2}$
[/mm]
für [mm] $x=(x_1,x_2),\,y=(y_1,y_2) \in \IR^2$ [/mm] richtig interpretiere, so kannst Du leicht zeigen:
Eine Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] im [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert dann und nur dann, wenn [mm] $\|x_n\|_2 \to 0\,.$
[/mm]
Das bedeutet insbesondere, dass bzgl. dieser Metrik [mm] $d\,$ [/mm] nur "Nullfolgen" konvergente
Folgen sein können! Anders gesagt: Bzgl. dieser Metrik [mm] $d\,$ [/mm] haben alle konvergenten
Folgen nur einen gemeinsamen Grenzwert, nämlich gerade $(0,0) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm] ("Nullfolge" bedeutet
hier in diesem Zusammenhang "gegen $(0,0)$ konvergente Folge").
Gruß,
Marcel
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