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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | Seien [mm] (X,d_X) [/mm] und [mm] (Y,d_Y) [/mm] metrische Räume. Wird durch folgende Abbildung [mm] $d:(X\times Y)\times (X\times Y)\rightarrow \IR$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $X\times [/mm] Y$ definiert?
[mm] d((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2) [/mm] |
Hallo an alle.
Also ich weiß ja dass [mm] d_X [/mm] und [mm] d_Y [/mm] schon Metriken sind, und damit alle Bedingungen für eine Metrik erfüllen.
Auch verstehe ich, dass ich für d jetzt Definitheit, Symmetrie und Dreiecksungleichung untersuchen soll.
Die Theorie ist klar, aber wie sieht das in der Praxis aus? Vielleicht kann mir jemand nen Ansatz für die Definitheit erklären, den Rest krieg ich dann hoffentlich allein hin.
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Sa 07.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da die einzelnen Summanden [mm] \ge [/mm] 0 sind ist auch die [mm] Summe\ge [/mm] 0
und die Summe ist nur Null, wenn beide Summanden = 0 sind, damit hast du die Definitheit.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Levit |
Alles klar. Und hätte ich statt der Summe z.B. das Produkt beider Metriken, wäre d keine Metrik, da d=0 sein könnte für bspw. [mm] d_X=2 [/mm] und [mm] d_Y=0. [/mm] Damit wäre d=0 für [mm] x1\ne [/mm] x2, und somit auch die Tupel ungleich. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 07.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
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