Messbarkeit von Funktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 27.02.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Wenn ich einen messbare Räume [mm] $(\Omega, \mathcal{A}),(S, \mathcal{S})$, [/mm] sowie eine Indexmenge $T$. Dann betrachte ich den Raum [mm] $S^T$, [/mm] aller Funktionen von $T$ nach $S$. Des weiteren sei [mm] $\pi_t: S^T \to [/mm] S$ für [mm] $t\in [/mm] T$ definiert durch:
[mm] \pi_t(f) = f(t) [/mm].
Wenn ich jetzt [mm] $X:\Omega \to [/mm] S$ habe, definiere ich [mm] $X_t:=\pi_t(X)$, [/mm] welches eine Funktion von [mm] $\Omega$ [/mm] nach $S$ ist. Auf [mm] $S^T$ [/mm] definiere ich die sigma-Algebra [mm] $\mathcal{S}^T:=\sigma\{\pi_t;t\in T\}$, [/mm] die von den [mm] $\pi_t$ [/mm] erzeugte sigma-Algebra. Nun verstehe ich den Beweis des folgenden Lemmas nicht:
$X$ ist [mm] $\mathcal{S}^T$ [/mm] messbar genau dann wenn [mm] $X_t$ $\mathcal{S}$ [/mm] messbare ist für alle $t$.
Im Beweis verwendet man nun: $X$ ist [mm] $\mathcal{S}^T$ [/mm] genau dann wenn $ [mm] X^{-1}(\{\pi_t;t\in T\})\subset \mathcal{A}$. [/mm] Das verstehe ich, da diese Menge die sigma-Algebra [mm] $\mathcal{S}^T$ [/mm] erzeugt. Aber wieso ist letzteres äquivalent zu
[mm] $X_t$ [/mm] ist [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] messbare für alle $t$.
?
Danke / Gruss
KalOR
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 24.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kalor,
Sei [mm] $\mathcal{S}^T':=\{\pi_t^{-1}(B)|t\in T, B\in\mathcal{S}\}$ [/mm] der kanonische Erzeuger von [mm] \mathcal{S}^T.
[/mm]
X ist [mm] $\mathcal{S}^T$-messbar [/mm] genau dann wenn:
[mm] $X^{-1}(C)\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $C\in\mathcal{S}^T'$.
[/mm]
Nach Definition von [mm] $\mathcal{S}^T'$ [/mm] ist dies gleichbedeutend mit
[mm] $X^{-1}(\pi_t^{-1}(B))\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] T$ und alle [mm] $B\in\mathcal{S}$.
[/mm]
Wegen [mm] $X^{-1}(\pi_t^{-1}(B))=(\pi_t\circ X)^{-1}(B)=X_t^{-1}(B)$ [/mm] ist das wiederum äquivalent zu
[mm] $X_t^{-1}(B)\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $B\in \mathcal{S}$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] T$,
also zur [mm] $\mathcal{S}$-Messbarkeit [/mm] von [mm] X_t [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] T$.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
