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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:59 Sa 01.11.2008 | | Autor: | trembel |
| Aufgabe | Es gilt die Äquivalenz: (x ist teilbar durch 3) [mm] \gdw [/mm] (2 * x ist teilbar durch 3).
(a) Beweisen Sie die " [mm] \Rightarrow [/mm] "-Richtung der Äquivalenz direkt.
(b) Formulieren Sie die Kontraposition der " [mm] \Leftarrow [/mm] "-Richtung der Äquivalenz und beweisen Sie diese.
(c) p und q seien zwei Primzahlen mit p [mm] \not= [/mm] q. Dann gilt die Verallgemeinerung:
(x ist teilbar durch p) [mm] \gdw [/mm] (q*x ist teilbar duch p). Beweisen Sie diese Äquivalenz durch geeignete Verallgemeinerung der Beweise aus (a) und (b). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin zum ersten Mal bei euch und hab zu den angegebenen Aufgaben irgendwie nicht so recht Ahnung...es wirkt alles so ein wenig trivial und doch komm ich auf keinen ausreichend langen Beweis.
z.B. zu (a) soll ja ein direkter Beweis geführt werden, dazu fällt mir folgendes ein:
n [mm] \in [/mm] N [mm] \wedge [/mm] k [mm] \in [/mm] N :
x=3k (da ja x eine Nat. Zahl sein soll und durch 3 teilbar)
der Beweis sähe bei mir "nur" so aus:
x=3k [mm] \Rightarrow [/mm] 2*x=3k
irgendwie zu kurz und zu einfach, aber bei x=3k ist irgendwie wenig "Freiheit" zum verändern der Termen ^^'
zu Aufg. (b) wäre es ähnlich
und Aufg. (c) hab ich mir noch gar keine Gedanken gemacht, da es ja auf (a) und (b) aufbauen soll.
Fände es echt super wenn mir jemand helfen könnte =)
Grüße
trembel
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> Es gilt die Äquivalenz: (x ist teilbar durch 3) [mm]\gdw[/mm] (2 * x
> ist teilbar durch 3).
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> (a) Beweisen Sie die " [mm]\Rightarrow[/mm] "-Richtung der
> Äquivalenz direkt.
>
> (b) Formulieren Sie die Kontraposition der " [mm]\Leftarrow[/mm]
> "-Richtung der Äquivalenz und beweisen Sie diese.
>
> (c) p und q seien zwei Primzahlen mit p [mm]\not=[/mm] q. Dann gilt
> die Verallgemeinerung:
> (x ist teilbar durch p) [mm]\gdw[/mm] (q*x ist teilbar duch p).
> Beweisen Sie diese Äquivalenz durch geeignete
> Verallgemeinerung der Beweise aus (a) und (b).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo trembel!
Willkommen im Matheraum 
> Hallo,
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> ich bin zum ersten Mal bei euch und hab zu den angegebenen
> Aufgaben irgendwie nicht so recht Ahnung...es wirkt alles
> so ein wenig trivial und doch komm ich auf keinen
> ausreichend langen Beweis.
>
> z.B. zu (a) soll ja ein direkter Beweis geführt werden,
> dazu fällt mir folgendes ein:
>
> n [mm]\in[/mm] N [mm]\wedge[/mm] k [mm]\in[/mm] N :
>
> x=3k (da ja x eine Nat. Zahl sein soll und durch 3
> teilbar)
>
Ja,
Es soll gezeigt werden, dass
$\ [mm] \dfrac{x}{3} \in \IZ \Rightarrow \dfrac{2x}{3} \in \IZ$
[/mm]
Eine Zahl $\ x [mm] \in \IZ$ [/mm] ist durch 3 teilbar, wenn sie sich als $\ x = 3k$ für $\ k [mm] \in \IZ$ [/mm] darstellen lässt.
Ich weiss nicht, wo dein $\ n $ Verwendung findet, aber es sollte vielleicht hinzugefügt werden, dass dein $\ k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist.
> der Beweis sähe bei mir "nur" so aus:
>
> x=3k $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 2*x=3k
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn $\ x=3k $, dann ist $\ 2x = 2(3k) $ 
Du hast sicher das richtige gemeint.
Gemäß der oben erwähnten Definition einer Zahl, die durch 3 Teilbar ist, gilt
$\ [mm] \dfrac{x}{3} \in \IZ \Rightarrow \dfrac{2x}{3} \in \IZ$
[/mm]
$\ 2x = 2(3k) $
[mm] $\dfrac{2(3k)}{3} [/mm] = [mm] \dfrac{6k}{3} [/mm] = 2k$
$\ 2k [mm] \in \IZ$ [/mm] für $\ k [mm] \in \IZ$ [/mm] was ja oben festgelegt wurde.
Hiermit sollte Aufgabe a) bewiesen sein.
> irgendwie zu kurz und zu einfach, aber bei x=3k ist
> irgendwie wenig "Freiheit" zum verändern der Termen ^^'
> Grüße
> trembel
Grüße,
ChopSuey
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:36 Sa 01.11.2008 | | Autor: | trembel |
Danke erstmal für die Hilfe, hat mir sehr geholfen ^^ hatte nurn kleinen Denkfehler, so und nun zu (b), zur Kontraposition:
die Kontraposition ist das logische Äquivalent zu A [mm] \Rightarrow [/mm] B, also [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A
zu zeigen ist also:
[mm] \bruch{2x}{3} \not\in \IN \Rightarrow \bruch{x}{3} \not\in \IN
[/mm]
sprich: der Rest darf alles außer 0 sein
daraus folgt dann:
2x=3k [mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \bruch{3k}{2} [/mm] mit k [mm] \in \IN [/mm] (Widerspruch?)
Glaub ich hab wiedern Denkfehler xD' ... denn ich wollts ja nich zum Widerspruch führen sondern einfach zeigen, dass die Kontraposition richtig ist....(Dieser ganze Beweiskram is einfach nix für mich fürchte ich -_-, obwohl ich mich mit der Induktion ja anfreunden kann)
Grüße
trembel
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Hi
> Danke erstmal für die Hilfe, hat mir sehr geholfen ^^ hatte
> nurn kleinen Denkfehler, so und nun zu (b), zur
> Kontraposition:
>
> die Kontraposition ist das logische Äquivalent zu A
> [mm]\Rightarrow[/mm] B, also [mm]\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu zeigen ist also:
>
> [mm]\bruch{2x}{3} \not\in \IN \Rightarrow \bruch{x}{3} \not\in \IN[/mm]
Wir brauchen die Menge der ganzen Zahlen $\ [mm] \IZ$, [/mm] denn...
>
> sprich: der Rest darf alles außer 0 sein
Nein, vorsicht:
Zu beweisen gilt, dass die Zahlen durch 3 Teilbar sind, also das Ergebnis ganzzahlig ist. Also kein Rest, auch nicht Zahlen ungleich 0.
Sprich: wir brauchen die Menge der ganzen Zahlen $\ [mm] \IZ$
[/mm]
Die Menge der natürlichen Zahlen $\ [mm] \IN$ [/mm] sind bloß alle positiven ganzen Zahlen von $\ 1$ aufwärts. (Je nach Definition kann auch $\ 0 [mm] \in \IN$ [/mm] sein.
Also:
[mm]\bruch{2x}{3} \not\in \IZ \Rightarrow \bruch{x}{3} \not\in \IZ[/mm]
gemäß unserer Definitionen sind Zahlen $\ x $ durch 3 teilbar, wenn sie als $\ x = 3k $ für $\ k [mm] \in \IZ [/mm] $ geschrieben werden können.
Jede ganze Zahl lässt sich in den Formen $\ 3k,\ 3k+1,\ 3k+2 $ darstellen, doch nur die Zahl in der Form $\ 3k $ ist durch 3 teilbar.
Also ist
$\ [mm] \neg [/mm] A:= [mm] \dfrac{x}{3} \notin \IZ [/mm] $
$\ [mm] \neg [/mm] B:= [mm] \dfrac{2x}{3} \notin \IZ [/mm] $
für $\ x = 3k+1$ mit $\ k [mm] \in \IZ$
[/mm]
$\ [mm] \neg [/mm] B= [mm] \dfrac{2(3k+1)}{3}$
[/mm]
$\ [mm] \neg [/mm] B= [mm] \dfrac{6k+2}{3} [/mm] $
$\ [mm] \neg [/mm] A= [mm] \dfrac{x}{3}$
[/mm]
$\ [mm] \neg [/mm] A= [mm] \dfrac{3k+1}{3}$
[/mm]
Hier erkennt man, dass $\ [mm] \dfrac{6k+2}{3} [/mm] = 2 * [mm] \dfrac{3k+1}{3}$ [/mm] und
nachdem $\ [mm] \neg [/mm] B = [mm] \dfrac{6k+2}{3} [/mm] $ offensichtlich nicht durch ohne Rest durch 3
teilbar ist, gilt das selbe für $\ [mm] \neg [/mm] A= [mm] \dfrac{3k+1}{3}$.
[/mm]
$\ [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$
Ich meine, dass der Beweis hier abgeschlossen ist. Bin mir aber selbst nicht ganz sicher.
Hat ein wenig gedauert, weil ich versehentlich den halben Text gelöscht hab und dann ein wenig durcheinander war, sorry fürs Warten.
> daraus folgt dann:
>
> 2x=3k [mm]\Rightarrow[/mm] x= [mm]\bruch{3k}{2}[/mm] mit k [mm]\in \IN[/mm]
> (Widerspruch?)
> Glaub ich hab wiedern Denkfehler xD' ... denn ich wollts ja
> nich zum Widerspruch führen sondern einfach zeigen, dass
> die Kontraposition richtig ist....(Dieser ganze Beweiskram
> is einfach nix für mich fürchte ich -_-, obwohl ich mich
> mit der Induktion ja anfreunden kann)
Das wird schon Ich muss hier auch ständig fragen!
> Grüße
> trembel
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mo 03.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 08.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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