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Hallo.
> a) heißt des GENAU ein Triebwerk funtioniert?
Nein. In der Mathematik heißt ein Triebwerk funktioniert: Es gibt ein Triebwerk, das funktioniert. Es wird keine Aussage darüber getroffen ob noch mehr TW'e funktionieren oder nicht.
In Formeln: [mm] \exists i \in \{ 1,2,3\}
\, : A(Ti) [/mm], wobei [mm] A(*) [/mm] heißt, [mm] * [/mm] funktioniert.
Die Negation dieser Aussage (nicht Gegenereignis, denn davon spricht man nur bei Mengen) ist dann: Es gibt kein TW, das funktioniert.
In Formeln: [mm] \neg \exists i \in \{ 1,2,3\}
\, : A(Ti) [/mm].
Sprachlich ist es gleichwertig zu sagen, dass alle TW'e nicht funktionieren. So auch in Formeln: [mm] \forall i \in \{ 1,2,3\} \, : \neg A(Ti) [/mm].
Allgemein ist für Elemente [mm] x [/mm] und eine Aussage [mm] A(x) [/mm] definiert:
[mm] \neg \exists x \, : A(x) \Leftrightarrow \forall x \, : \neg A(x) [/mm] und [mm] \forall x \, : A(x) \Leftrightarrow \exists x \, : \neg A(x) [/mm] und [mm] \neg \neg A(x) \Leftrightarrow A(x) [/mm]
[mm] \forall [/mm] bedeutet FÜR ALLE
[mm] \exist [/mm] bedeutet ES GIBT
[mm] \neg [/mm] bedeutet NICHT
[mm] \land [/mm] bedeutet UND
[mm] \lor [/mm] bedeutet ODER
Als Regel kannst du dir einfach merken:
[mm] \neg (A \lor B) \leftrightarrow \neg A \land \neg B [/mm] und [mm] \neg (A \land B) \leftrightarrow \neg A \lor \neg B [/mm].
Exemplarisch e):
[mm] \neg ((A(T2) \land \neg A(T3)) \lor (\neg A(T2) \land A(T3))) \leftrightarrow \neg (A(T2) \land \neg A(T3)) \land \neg (\neg A(T2) \land A(T3)) \leftrightarrow (\neg A(T2) \lor A(T3)) \land (A(T2) \lor \neg A(T3)) [/mm]
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.
Gruß, AlthePal
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Hallo.
> a) heißt des GENAU ein Triebwerk funtioniert?
Nein. In der Mathematik heißt ein Triebwerk funktioniert: Es gibt ein Triebwerk, das funktioniert. Es wird keine Aussage darüber getroffen ob noch mehr TW'e funktionieren oder nicht.
In Formeln: [mm] \exists i \in \{ 1,2,3\}
\, : A(Ti) [/mm], wobei [mm] A(*) [/mm] heißt, [mm] * [/mm] funktioniert.
Die Negation dieser Aussage (nicht Gegenereignis, denn davon spricht man nur bei Mengen) ist dann: Es gibt kein TW, das funktioniert.
In Formeln: [mm] \neg \exists i \in \{ 1,2,3\}
\, : A(Ti) [/mm].
Sprachlich ist es gleichwertig zu sagen, dass alle TW'e nicht funktionieren. So auch in Formeln: [mm] \forall i \in \{ 1,2,3\} \, : \neg A(Ti) [/mm].
Allgemein ist für Elemente [mm] x [/mm] und eine Aussage [mm] A(x) [/mm] definiert:
[mm] \neg \exists x \, : A(x) \Leftrightarrow \forall x \, : \neg A(x) [/mm] und [mm] \forall x \, : A(x) \Leftrightarrow \exists x \, : \neg A(x) [/mm] und [mm] \neg \neg A(x) \Leftrightarrow A(x) [/mm]
[mm] \forall [/mm] bedeutet FÜR ALLE
[mm] \exist [/mm] bedeutet ES GIBT
[mm] \neg [/mm] bedeutet NICHT
[mm] \land [/mm] bedeutet UND
[mm] \lor [/mm] bedeutet ODER
Als Regel kannst du dir einfach merken:
[mm] \neg (A \lor B) \leftrightarrow \neg A \land \neg B [/mm] und [mm] \neg (A \land B) \leftrightarrow \neg A \lor \neg B [/mm].
Exemplarisch e):
[mm] \neg ((A(T2) \land \neg A(T3)) \lor (\neg A(T2) \land A(T3))) \leftrightarrow \neg (A(T2) \land \neg A(T3)) \land \neg (\neg A(T2) \land A(T3)) \leftrightarrow (\neg A(T2) \lor A(T3)) \land (A(T2) \lor \neg A(T3)) [/mm]
Bei Ereignissen geht das übrigens genauso. Ersetze dabei [mm] \neg A [/mm] durch [mm] \overline {A} [/mm] , [mm] \land [/mm] durch [mm] \cap [/mm] und [mm] \lor [/mm] durch [mm] \cup [/mm].
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.
Gruß, AlthePal
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 14.09.2006 | | Autor: | dth100 |
also ich glaub ich habs soweit verstnden, vielen Dank erstmal dafür. Also wenn ich das richtig sehe, >
> [mm]\neg (A \lor B) \leftrightarrow \neg A \land \neg B[/mm] und
> [mm]\neg (A \land B) \leftrightarrow \neg A \lor \neg B [/mm].
sind das doch die Morganschen Gesetze? In meinem "schlauen" tafelwerk steht aber, die gelten nur, wenn A eine Teilmenge von B ist", aber hier hab ich doch mehr oder weniger überhaupt keine Mengen gegeben. Warum gelten die dann trotzdem?
Und bist du dir bei e) sicher? Ich kann T1 also einfach vernachlässigen? wäre nett wenn das noch jemand absegnen könnte  )
Aber vielen Dank für deine Antwort, das hilft mir auf jeden Fall schon mal ein ganzes stück weiter.
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Hallo.
> Also wenn ich das richtig sehe, >
> > [mm]\neg (A \lor B) \leftrightarrow \neg A \land \neg B[/mm] und
> > [mm]\neg (A \land B) \leftrightarrow \neg A \lor \neg B [/mm].
>
> sind das doch die Morganschen Gesetze? In meinem "schlauen"
> tafelwerk steht aber, die gelten nur, wenn A eine Teilmenge
> von B ist", aber hier hab ich doch mehr oder weniger
> überhaupt keine Mengen gegeben.
Ja. Nein, die De Morganschen Regeln gelten sowohl bei Aussagen, als auch bei Mengen bzw. bei Ereignissen. Bei Ereignissen braucht man jedoch noch eine Grundraum, welcher alle zu betrachtenden Ereignisse umfasst, d.h. die Ereignisse müssen Teilmenge des Grundraums sein. Dann gelten die De Morganschen Gesetze immer, egel ob A eine Teilmenge von B ist oder nicht.
> Warum gelten die dann
> trotzdem?
Um einzusehen, WARUM die De Morganschen Gesetze gelten, machst du dir am Besten eine sog. Wahrheitstabelle und ließt die Regel dann quasi ab. Kannst dir das hier mal ansehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheitstabelle
> Und bist du dir bei e) sicher? Ich kann T1 also einfach
> vernachlässigen?
Ja. Denn [mm] (\neg A(T2) \lor A(T3)) \land (A(T2) \lor \neg A(T3)) \leftrightarrow (\neg A(T2) \lor A(T3)) \land (A(T2) \lor \neg A(T3)) \land (A(T1) \lor \neg A(T1)) [/mm]. Ich habe hier [mm] \land (A(T1) \lor \neg A(T1)) [/mm] "und T1 funktioniert oder T1 funktioniert nicht" eingefügt um T1 nicht zu vernachlässigen, doch diese Aussage ist offensichtlich immer erfüllt. Deswegen kann man sie auch weglassen. In der Mathematik, oder genauer in der Logik, nennt man solch eine Aussage eine Tautologie.
Hier nochmal ein Bsp. zur Verdeutlichung:
[mm] A \leftrightarrow A \land (B \lor \neg B) \leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land \neg B) [/mm]. Das heißt "A gilt" ist gleichwertig mit "A und B gelten" oder "A gilt und B gilt nicht".
Ich hoffe alle Unklarheiten sind beseitigt.
Gruß,
AlthePal
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