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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 03.06.2006 | | Autor: | papa |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(5/7), B(5/2), ferner die Mengen [mm] M_1={P|winkel APB \ge 60°}, M_2 [/mm] = {P|winkelAPB [mm] \le [/mm] 90°}, [mm] M_3={P | \overline{AP} > \overline {BP}}.
[/mm]
Konstruiere die Menge M = [mm] M_1 \cap M_2 \cap M_3 [/mm] |
Pardon, komme mit der Aufgabenstellung meines Sohnes nicht klar.
Punkte A und B ins Koordinatensystem zeichen - no Problem, aber die Definition der Mengenbegriffe verstehe ich nicht. Sind das nur "Punkt"-Mengen?
z.B. [mm] M_1: [/mm] soll das heißen, einen Punkt P so zu konstruieren, dass sich ein Winkel ABP von [mm] \ge [/mm] 60° ergibt? Wenn ja, kann dieser Punkt dann beliebig irgendwo liegen, Haupsache der Winkel ist eingehalten, z.B. ca. P(0,5/4,5)
oder P(9,5/4,5) oder P(4/7) ...
Wie sieht es aber mit [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] aus und was ist die Menge M, eine Linie oder ein Dreieck [mm] M_1/M_2/M_3 [/mm] oder evtl der Inhalt diees Dreiecks?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Kann mir jemand den Lösungsweg schrittweise aufzeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 03.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind die Punkte A(5/7), B(5/2), ferner die Mengen
> [mm]M_1=\{P|\sphericalangle APB \ge 60°\}[/mm], [mm] M_2=\{P|\sphericalangle APB \le 90°\}[/mm],
> [mm]M_3=\{P | \overline{AP} > \overline {BP}\}.[/mm]
> Konstruiere die
> Menge M = [mm]M_1 \cap M_2 \cap M_3[/mm]
> Pardon, komme mit der
> Aufgabenstellung meines Sohnes nicht klar.
> Punkte A und B ins Koordinatensystem zeichen - no Problem,
> aber die Definition der Mengenbegriffe verstehe ich nicht.
> Sind das nur "Punkt"-Mengen?
Was verstehst Du da genau unter einer "Punkt"-Menge? [mm] M_1, M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] sind Mengen, die aus allen Punkten mit einer bestimmten Eigenschaft bestehen.
>
> z.B. [mm]M_1:[/mm] soll das heißen, einen Punkt P so zu
> konstruieren, dass sich ein Winkel ABP von [mm]\ge[/mm] 60° ergibt?
Im Prinzip ja, aber nicht nur einen, sondern alle(!) für die sich so ein Winkel ergibt.
> Wenn ja, kann dieser Punkt dann beliebig irgendwo liegen,
> Haupsache der Winkel ist eingehalten, z.B. ca. P(0,5/4,5)
> oder P(9,5/4,5) oder P(4/7) ...
>
> Wie sieht es aber mit [mm]M_2[/mm] und [mm]M_3[/mm] aus und was ist die Menge
> M, eine Linie oder ein Dreieck [mm]M_1/M_2/M_3[/mm] oder evtl der
> Inhalt diees Dreiecks?
>
Um rauszukriegen, wie die Menge M aussieht müssen wir uns erstmal die Mengen [mm] M_1 [/mm] bis [mm] M_3 [/mm] klarmachen. Dazu wäre eine Skizze nicht schlecht, vielleicht liefere ich die noch nach, aber erstmal in Prosa:
- Um [mm] M_1 [/mm] zu konstruieren muss man erstmal überlegen, wo alle Punkte P mit [mm]\sphericalangle APB=60°[/mm] liegen. Diese bilden aber genau das zu 60° gehörende Fasskreisbogenpaar über [AB] (wie man so was konstruiert müsste schon drangewesen sein, sonst macht die Aufgabe wenig Sinn). Alle Punkte, für die der Winkel größer ist liegen aber näher an [AB], also ist [mm] M_1 [/mm] das innere des Fasskreisbogenpaars inklusive Rand.
- Für [mm] M_2 [/mm] brauchen wir entsprechend die Punkte, für die der Winkel = 90° ist. Das wäre der Thaleskreis über der Strecke [AB]. Die Punkte mit kleinerem Winkel liegen ausserhalb. Also sind [mm] M_2 [/mm] alle Punkte ausserhalb des Thaleskreises plus die Kreislinie.
- Für [mm] M_3 [/mm] brauchen wir erstmal alle Punkte mit [mm]\overline{AP} = \overline {BP}[/mm]. Das ist aber bekanntermaßen die Mittelsenkrechte von [AB]. Jetzt soll aber A weiter von P entfernt sein als B, also besteht [mm] M_3 [/mm] aus allen Punkten, die auf der gleichen Seite der Mittelsenkrechten wie B liegen. Beachte: da hier > steht gehört die Begrenzungslinie in diesem Fall nicht zur Menge.
Wie sieht jetzt also M aus? [mm]M_1\cap M_2[/mm] sind die Punkte ausserhalb des Thaleskreises und innerhalb des Fasskreisbogens; das sieht dann wie zwei Monsicheln aus. Schneidet man das ganze dann noch mit [mm] M_3, [/mm] dann werden diese Sicheln jeweils noch in der Mitte halbiert, M besteht also aus zwei Sicheln.
Hier mal eine grobe Freihandskizze (ich musste jetzt leider Paint nehmen...):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei Dir liegt die Strecke natürlich etwas anders, aber das bekommt man auch noch hingedreht....
[mm] M_1 [/mm] liegt im Innern der beiden großen Kreisbogen (die in Wirklichkeit wahrscheinlich etwas kleiner sind), [mm] M_2 [/mm] ist alles, was außerhalb des inneren Kreises liegt. [mm] M_3 [/mm] liegt in dieser Zeichnung rechts von der Mittelsenkrechten. Schneidet man nun alle Mengen, so erhält man gerade die lilanen Punkte. Für die Begrenzungslinien gilt: die Kreislinien gehören noch zur Menge, die Mittelsenkrechte nicht mehr.
Gruß
piet
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 03.06.2006 | | Autor: | papa |
Zuerst mal vielen Dank für den "Prosa"-Lösungansatz. Habe daraufhin mich mal mit dem Thaleskreis und dem Fasskreisbogenpaar beschäftigt. Letzteren kannte ich so mit der Bezeichnung nicht (ist doch schon ´ne Weile her, mein Mathe-Unterricht  )
Während Sie noch an der Skizze gearbeitet haben, habe ich auch konstruiert. Ergebnis: Meine Menge M befindet sich in Form von zwei Sichelhälften um -90° gedreht zu Ihrer Skizze, und zwar unten.
So das müßte dann wohl stimmen, wenn meine Punkte A(5/7) und B(2/7) sind.
Nochmals vielen Dank für die Nachhilfe.
Gruß PaPa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Sa 03.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Zuerst mal vielen Dank für den "Prosa"-Lösungansatz. Habe
> daraufhin mich mal mit dem Thaleskreis und dem
> Fasskreisbogenpaar beschäftigt. Letzteren kannte ich so mit
> der Bezeichnung nicht (ist doch schon ´ne Weile her, mein
> Mathe-Unterricht )
> Während Sie noch an der Skizze gearbeitet haben, habe ich
> auch konstruiert. Ergebnis: Meine Menge M befindet sich in
> Form von zwei Sichelhälften um -90° gedreht zu Ihrer
> Skizze, und zwar unten.
> So das müßte dann wohl stimmen, wenn meine Punkte A(5/7)
> und B(5/2) sind.
>
Ich habe die Koordinaten bei meinen Überlegungen erstmal aussen vor gelassen, denn das Prinzip bleibt ja erstmal das gleiche. Aber mit den richtigen Punkten sollte das dann stimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Sa 03.06.2006 | | Autor: | papa |
Ihrer Antwort ist natürlich nicht falsch !!!
Ich habe versehentlich den falschen Button gedrückt - Entschuldigung.
Wollte meine Antwort korrigieren.
Hier nochmal richtiger Versuch: Letzter Satz soll heißen:
"... Punke A(5/7) und B(5/2)..."
Gruß PaPa
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