Mengenberechnung mit Betrag < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Menge [mm] \{z\in\IC : |(1-i)z+2i|=2\}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe für diese Aufgabe einen Lösungsansatz, bin aber nicht sicher, ob dieser für die Rechnung mit komplexen Zahlen gültig ist! Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich so rechnen darf oder ob es eine andere Möglichkeit gibt, die Menge zu berechnen!
Dankeschön!
Mein Lösungsansatz:
Ich unterscheide zwei Fälle, so wie man das bei anderen Betragsrechnungen macht.
D.h. z1: 2 = (1-i)z+2i
und z2: 2 = -((1-i)z + 2i)
Ich stelle einfach um und z1 und z2 wären dann die Elemente der Menge M. Passt auch alles, wenn man die Werte hinterher einsetzt.
(z1 = 2 und z2 = -2i)
Allerdings weiß ich, dass der Betrag komplexer Zahlen sich anders berechnet, nämlich |z|= [mm] \wurzel{a^2+b^2}.
[/mm]
Ist meine Lösungsstrategie trotzdem richtig?
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> Bestimmen Sie die Menge [mm]\{z\in\IC : |(1-i)z+2i|=2\}.[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Allerdings weiß ich, dass der Betrag komplexer Zahlen sich
> anders berechnet, nämlich |z|= [mm]\wurzel{a^2+b^2}.[/mm]
Gut.
> Ist meine Lösungsstrategie trotzdem richtig?
Nein.
Wenn ich jetzt nämlich mit Deiner Strategie an die Aufgabe 1=|z| gehe, bekomme ich als Lösungen nur z=1 und z=-1, und wir wissen doch, daß es viel mehr komplexe Zahlen mit dem Betrag 1 gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Okay, vielen Dank!
D.h. ich wende die Formel für Betragsberechnung von komplexen Zahlen an.
Wäre das dann so erst mal korrekt:
|(1-i)z+2i|=2
ausmultipliziert: |z-zi+2i| = 2
Betrag: [mm] \wurzel{z^2-(z+2)^2} [/mm] = 2
= [mm] \wurzel {z^2 - (z+2)^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{4z+4} [/mm] = 2
= 4z+4 = 4
Ergibt umgestellt nach z aber leider 0. Das kommt mir alles andere als richtig vor!?
Ist es denn überhaupt möglich z wie eine ganz normale Variable zu verwenden? Oder soll man für z= a+ib einsetzen?
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Hallo Aoide,
> Okay, vielen Dank!
> D.h. ich wende die Formel für Betragsberechnung von
> komplexen Zahlen an.
> Wäre das dann so erst mal korrekt:
> |(1-i)z+2i|=2
> ausmultipliziert: |z-zi+2i| = 2
> Betrag: [mm]\wurzel{z^2-(z+2)^2}[/mm] = 2
> = [mm]\wurzel {z^2 - (z+2)^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{4z+4}[/mm] = 2
> = 4z+4 = 4
> Ergibt umgestellt nach z aber leider 0. Das kommt mir
> alles andere als richtig vor!?
> Ist es denn überhaupt möglich z wie eine ganz normale
> Variable zu verwenden? Oder soll man für z= a+ib
> einsetzen?
Ja, besser noch $z=x+iy$, dann siehst du den Zusammenhang im "normalen" x/y-Koordinatensystem besser.
Setze das also mal ein, benutze die Def. des komplexen Betrages und du kommst mit quadratischer Ergänzung schnell auf eine Kreisgleichung [mm] $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$
[/mm]
Das ist dann (der Kreisrand) ein(es) Kreis(es) mit Mittelpunkt [mm] $(x_m,y_m)$ [/mm] bzw. [mm] $z_m=x_m+iy_m$ [/mm] und Radius r
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Ohje, so schnell und einfach geht das bei mir leider nicht ;)
Ich fange mal an:
|(1-i)(x+iy) + 2i| =2
ausmultipliziert: |x + iy-ix + y +2i| = 2
Betrag: 2= [mm] \wurzel{(x+y)^2 + (y-x+2)^2}
[/mm]
Ergibt ausmultipliziert und umgestellt: [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] + 4y - 4x = 0
Macht: [mm] x^2+y^2+2y-2x=0
[/mm]
Quadratische Ergänzung: [mm] (x-(+1))^2+(y-(-1))^2 [/mm] = 2
Das Ergebnis bis dahin wäre also z = 1 - i , der Radius ist [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Wenn ich aber z= 1-i in die ursprüngliche Gleichung einsetze kommt am Ende -2i + 2i = 2 raus. Macht ja auch keinen Sinn!? Wo liegt mein Fehler? Oder ist das ein Denkfehler?
Und wäre z=1-i dann die Lösung für die Menge?
Danke für die Geduld!
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Hallo nochmal,
> Ohje, so schnell und einfach geht das bei mir leider nicht
> ;)
>
> Ich fange mal an:
> |(1-i)(x+iy) + 2i| =2
> ausmultipliziert: |x + iy-ix + y +2i| = 2
> Betrag: 2= [mm]\wurzel{(x+y)^2 + (y-x+2)^2}[/mm]
> Ergibt
> ausmultipliziert und umgestellt: [mm]2x^2[/mm] + [mm]2y^2[/mm] + 4y - 4x = 0
> Macht: [mm]x^2+y^2+2y-2x=0[/mm]
> Quadratische Ergänzung: [mm](x-(+1))^2+(y-(-1))^2[/mm] = 2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, perfekt! Nochmal "schöner": [mm] $(x-1)^2+(y+1)^2=(\sqrt{2})^2$
[/mm]
>
> Das Ergebnis bis dahin wäre also z = 1 - i , der Radius
> ist [mm]\wurzel{2}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das ist der Kreis um $z=1-i$ mit Radius [mm] $\sqrt{2}$
[/mm]
>
> Wenn ich aber z= 1-i in die ursprüngliche Gleichung
> einsetze kommt am Ende -2i + 2i = 2 raus. Macht ja auch
> keinen Sinn!? Wo liegt mein Fehler?
$z=1-i$ ist kein Punkt des Kreises (also des Kreisrandes), der die Lösungsmenge darstellt, sondern der Mittelpunkt desselben!
> Oder ist das ein
> Denkfehler?
> Und wäre z=1-i dann die Lösung für die Menge?
Nein, Lösung ist die Punktmenge, die durch die Kreisgleichung oben beschrieben wird!
Das sind unendlich viele Punkte, nicht bloß einer!
>
> Danke für die Geduld!
>
Gerne
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Gut, auf ein letztes (hoffentlich):
Meine Menge sind also alle Punkte, die vom Punkt 1-i mit einer Länge von [mm] \wurzel{2} [/mm] entfernt sind? In Worten. SInd das wirklich unendlich viele Punkte?
Ich weiß leider nicht, wie ich das mathematisch formuliere :(
Ich kanns mal versuchen, aber kann mir jemand verraten, wie es aussehen muss?
Versuch: M = [mm] \{z\in\IC| |z+1-i|=\wurzel{2}} [/mm] ???
Mir fehlt leider noch etwas das Verständnis dafür, warum in der Beschreibung der Menge steht, dass der Betrag = 2 ist, man aber als Ergebnis den Radius [mm] \wurzel{2} [/mm] raus bekommt. Ich dachte der Betrag wäre gleich dem Radius?
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Hallo nochmal,
> Gut, auf ein letztes (hoffentlich):
> Meine Menge sind also alle Punkte, die vom Punkt 1-i mit
> einer Länge von [mm]\wurzel{2}[/mm] entfernt sind? In Worten. SInd das wirklich unendlich viele Punkte?
Klar! Das ist der gesamte Kreisrand
>
> Ich weiß leider nicht, wie ich das mathematisch formuliere
> :(
> Ich kanns mal versuchen, aber kann mir jemand verraten,
> wie es aussehen muss?
>
> Versuch: M = [mm]\{z\in\IC| |z+1-i|=\wurzel{2}}\}[/mm] ???
Edit: habe einen VZF übersehen!
Fast, wir haben ja einen Kreis um [mm] $z_0=1-i$, [/mm] also muss es [mm] $|z-z_o|=|z-(1-i)|=|z+i-1|$ [/mm] lauten
Edit Ende
Oder wie gesagt als Kreisgleichung in der Ebene aufgefasst, so wie es oben steht, je nachdem, was dir lieber ist und aus welcher Darstellung du besser das geometrische Objekt, also den Kreisrand, erkennen kannst.
>
> Mir fehlt leider noch etwas das Verständnis dafür, warum
> in der Beschreibung der Menge steht, dass der Betrag = 2
> ist, man aber als Ergebnis den Radius [mm]\wurzel{2}[/mm] raus
> bekommt. Ich dachte der Betrag wäre gleich dem Radius?
Die 2, die ursprünglich rechterhand stand, wurde ja im Zuge der Umformungen durch das Quadrieren zur 4, die sich gegen eine 4 linkerhand weggekürzt hat.
Die "neue" 2 ergab sich durch die quadratischen Ergänzungen linkerhand, so dass sich die Kreisgl. [mm] $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2=2$ [/mm] ergab, also [mm] $r=\sqrt{2}$
[/mm]
Nochmal kurz zur schnellen geometr. Deutung des Betrages:
$|z-w|=M$ erfüllen alle komplexen [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von [mm] $w\in\IC$ [/mm] den Abstand [mm] $M\in\IR^{\ge 0}$ [/mm] haben, [mm] $\{|z-w|=M\}$ [/mm] ist also als Punktmenge der Kreis(rand) um w mit Radius M
$|z-w|<M$ entsprechend alle komplexen $z$, sie von w einen Abstand kleiner als M haben, [mm] $\{|z-w|
Entsprechend ist [mm] $\{|z-w|>M\}$ [/mm] das ÄUßERE des Kreises um ..
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Vielen lieben Dank!
Ich denke an Hand deiner tollen Erläuterung, werde ich andere Aufgaben dieser Form bestimmt selber lösen können (würde jetzt einen Thump Up geben, aber weiß nicht wie ;))
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Hallo nochmal,
Achtung, ich hatte in der anderen Antwort einen Vorzeichenfehler übersehen.
Schaue nochmal nach, habs in rot editiert!
Liebe Grüße
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Menge [mm] \{z\in\IC : |z-1| = |z-[1+\wurzel{3})+i|} [/mm] |
Jetzt hab ich gedacht, ich könnte das mit der tollen Erklärung oben auf jede Rechnung anwenden, aber stocke schon bei der nächsten :(
Wenn ich also für z = x +yi einsetze und dann den Betrag berechne, komme ich nach ewigem Ausmultiplizieren und Umstellen auf
[mm] -4-2\wurzel{3} [/mm] = [mm] -2\wurzel{3}x [/mm] + 2y
Da fällt mir aber keine quadratische Ergänzung zu ein.
D.h., das mit der Kreisformel gilt nicht für alle Rechnungen dieser Art?
Soll mir da jetzt irgendeine andere Formel in die Augen springen?
Wenn ich es einfach umstelle für zwei Variablen, kommt ja auch nur ein Wert für x raus.
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> Bestimmen Sie die Menge [mm]\{z\in\IC : |z-1| = |z-[1+\wurzel{3})+i|}[/mm]
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> Jetzt hab ich gedacht, ich könnte das mit der tollen
> Erklärung oben auf jede Rechnung anwenden, aber stocke
> schon bei der nächsten :(
> Wenn ich also für z = x +yi einsetze und dann den Betrag
> berechne, komme ich nach ewigem Ausmultiplizieren und
> Umstellen auf
> [mm]-4-2\wurzel{3}[/mm] = [mm]-2\wurzel{3}x[/mm] + 2y
>
> Da fällt mir aber keine quadratische Ergänzung zu ein.
Hallo,
ich hab' nichts nachgerechnet.
Du kannst das doch umstellen zu y= ... .
Das ist doch eine Geradengleichung!
Gruß v. Angela
>
> D.h., das mit der Kreisformel gilt nicht für alle
> Rechnungen dieser Art?
> Soll mir da jetzt irgendeine andere Formel in die Augen
> springen?
> Wenn ich es einfach umstelle für zwei Variablen, kommt ja
> auch nur ein Wert für x raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Ach mensch, natürlich!
Vielen Dank!!
Dann enthält die Menge alle Punkte dieser Gerade, stimmts?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 11.11.2009 | | Autor: | horus00 |
Frage war: Bestimme die Menge.
Kann man die Menge dann wie folgt angeben???
[mm] M:=\{x,y \in \IR | y=\wurzel{3}*x-2-\wurzel{3} \}
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:39 Mi 11.11.2009 | | Autor: | horus00 |
> Frage war: Bestimme die Menge.
>
> Kann man die Menge dann wie folgt angeben???
>
> [mm]M:=\{x,y \in \IR | y=\wurzel{3}*x-2-\wurzel{3} \}[/mm]
>
>
Da die Geradengleichung aus der Ursprungsmenge der komplexen Zahlen stammt(über Umformung)...
muss ich dann nicht die Menge in Form von z=x+y*i angeben:
zB [mm] M:=\{z \in \IC|z=x+i*(\wurzel{3}*x-2-\wurzel{3})\}
[/mm]
????? Hilfe
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> Frage war: Bestimme die Menge.
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> Kann man die Menge dann wie folgt angeben???
>
> [mm]M:=\{x,y \in \IR | y=\wurzel{3}*x-2-\wurzel{3} \}[/mm]
Hallo,
wenn, dann müßtest Du schreiben
[mm]M:=\{\red{(}x,y\red{)} \in \IR^{red{2}} | y=\wurzel{3}*x-2-\wurzel{3} \}[/mm],
vielleicht würde Dir der Kopf dafür auch gar nicht abgerissen werden.
Vorausgesetzt, Ihr habt [mm] \IC [/mm] schon mit dem [mm] \IR^2 [/mm] identifiziert, ist das am verständlichsten und am besten und schnellsten vorzustellen.
Als Teilmenge von [mm] \IC [/mm] könntest Du so schreiben:
[mm]M:=\{z\in \IC | z=x+i*(\wurzel{3}*x-2-\wurzel{3},\quad x\in \IR \}[/mm]
oder, was mir besser vielleicht gefiele,
[mm]M:=\{z\in \IC | z=x(1+i*(\wurzel{3}) -(2+\wurzel{3})i,\quad x\in \IR \}[/mm].
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mi 11.11.2009 | | Autor: | horus00 |
danke schön, entspricht meiner vorstellung nach weiterem grübeln 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 10.11.2009 | | Autor: | horus00 |
> Hallo nochmal,
>
> > Ohje, so schnell und einfach geht das bei mir leider nicht
> > ;)
> >
> > Ich fange mal an:
> > |(1-i)(x+iy) + 2i| =2
> > ausmultipliziert: |x + iy-ix + y +2i| = 2
> > Betrag: 2= [mm]\wurzel{(x+y)^2 + (y-x+2)^2}[/mm]
> > Ergibt
> > ausmultipliziert und umgestellt: [mm]2x^2[/mm] + [mm]2y^2[/mm] + 4y - 4x = 0
> > Macht: [mm]x^2+y^2+2y-2x=0[/mm]
> > Quadratische Ergänzung: [mm](x-(+1))^2+(y-(-1))^2[/mm] = 2
>
>
> Ja, perfekt! Nochmal "schöner":
> [mm](x-1)^2+(y+1)^2=(\sqrt{2})^2[/mm]
>
> >
> > Das Ergebnis bis dahin wäre also z = 1 - i , der Radius
> > ist [mm]\wurzel{2}.[/mm]
Woraus folgt z = 1 - i ?? Liest man das aus der Kreisgleichung ab?
> Nein, das ist der Kreis um [mm]z=1-i[/mm] mit Radius [mm]\sqrt{2}[/mm]
>
> >
> > Wenn ich aber z= 1-i in die ursprüngliche Gleichung
> > einsetze kommt am Ende -2i + 2i = 2 raus. Macht ja auch
> > keinen Sinn!? Wo liegt mein Fehler?
>
> [mm]z=1-i[/mm] ist kein Punkt des Kreises (also des Kreisrandes),
> der die Lösungsmenge darstellt, sondern der Mittelpunkt
> desselben!
>
> > Oder ist das ein
> > Denkfehler?
> > Und wäre z=1-i dann die Lösung für die Menge?
>
> Nein, Lösung ist die Punktmenge, die durch die
> Kreisgleichung oben beschrieben wird!
>
> Das sind unendlich viele Punkte, nicht bloß einer!
>
> >
> > Danke für die Geduld!
> >
>
> Gerne
>
> LG
> schachuzipus
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Hallo horus00,
> > [mm](x-1)^2+(y+1)^2=(\sqrt{2})^2[/mm]
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> > >
> > > Das Ergebnis bis dahin wäre also z = 1 - i , der Radius
> > > ist [mm]\wurzel{2}.[/mm]
>
> Woraus folgt z = 1 - i ?? Liest man das aus der
> Kreisgleichung ab?
>
Na klar, aus der Kreisgleichung [mm] $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$ [/mm] in der Ebene liest man den Mittelpunkt [mm] $(x_m,y_m)$ [/mm] und den Radius $r$ ab.
Übertragen auf komplexe Zahlen, beschreibt obige Kreisgleichung dann den Kreis um [mm] $z=x_m+iy_m$ [/mm] mit Radius r.
Berechne mal die komplexe Punktmenge [mm] $\{|z-(x_m+iy_m)|=r\}$ [/mm] (setze $z=x+iy$ und rechne es aus, du wirst auf die obige Kreisgleichung [mm] $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$ [/mm] kommen)
Und [mm] $x_m, y_m$, [/mm] sowie $r$ hatten wir ja ausführlich berechnet
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Mi 11.11.2009 | | Autor: | horus00 |
danke fein. ja der rest war schon super ausführlich...
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