Mengen aus ]...] Intervall < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Fr 16.10.2009 | | Autor: | ZuluI |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgende Menge:
[mm] \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] [/mm] |
Hallo zusammen!
Mir wurde die genannte Aufgabe gestellt und ich blicke nicht ganz durch was damit gemeint sein soll. Mein Ansatz:
[mm] \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]:=\{x|\bruch{1}{n+1}
Ansonsten könnte man eine Menge A und B aus den Intervallgrenzen definieren und hieraus die Vereinigungsmenge bilden...
Könnt ihr mir helfen?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die folgende Menge:
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1][/mm]
> Hallo zusammen!
> Mir wurde die genannte Aufgabe gestellt und ich blicke
> nicht ganz durch was damit gemeint sein soll. Mein Ansatz:
>
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]:=\{x|\bruch{1}{n+1}
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist [mm] bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]=\bruch{1}{1+1},1]\cup \bruch{1}{2+1},1]\cup \bruch{1}{3+1},1]\cup\bruch{1}{5+1},1]\cup [/mm] ...
(Falls bei Euch in [mm] \IN [/mm] die 0 enthalten ist, beginnt's mit [mm] \bruch{1}{0+1},1].)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Fr 16.10.2009 | | Autor: | ZuluI |
Hi Angela,
vielen Dank für die schnelle Antwort! Gibt es die Möglichkeit diese Elemente durch eine Menge A zu definieren?
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Ja, das ergebnis ist ein einfaches Intervall, dass du eben herausfinden sollst.
Überlege dir also mal, wie die ersten Intervalle aussehen, also bspw:
[mm]\bigcup_{n=0}^2[\bruch{1}{1+n},1][/mm], dann bis 3..... du wirst eine Regelmäßigkeit feststellen.
Wie sieht das ganze dann für [mm] $n\to\infty$ [/mm] aus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Fr 16.10.2009 | | Autor: | ZuluI |
Hallo Gonozal,
für x [mm] \to \infty [/mm] sehe ich, dass der Intervallbereich immer größer wird, weil die linke Grenze per Definition gegen 0 strebt und sich das ganze im Intervall ]0;1] abspielt.
Meine Folgerung:
[mm] A:=\{\bruch{1}{1+n}|n\in\IN\}
[/mm]
[mm] B:=\{1\}
[/mm]
[mm] C=A\cup [/mm] B
Wodurch C die Menge des Ausgangsausdrucks wäre?!
Grüße ZuluI
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für x [mm]\to \infty[/mm]
[mm] $\blue{n} \to \infty$!
[/mm]
> sehe ich, dass der Intervallbereich immer
> größer wird, weil die linke Grenze per Definition gegen 0
> strebt und sich das ganze im Intervall ]0;1] abspielt.
Das ist eine interessante Feststellung!
> Meine Folgerung:
> [mm]A:=\{\bruch{1}{1+n}|n\in\IN\}[/mm]
>
> [mm]B:=\{1\}[/mm]
>
> [mm]C=A\cup[/mm] B
>
> Wodurch C die Menge des Ausgangsausdrucks wäre?!
Also soweit ich das überblicke:
Das kann doch schon nicht sein, alleine schon aus Abzählbarkeitsgründen:
Denn Intervalle der Art [mm] $]a,b]\,$ [/mm] mit $a < [mm] b\,,$ [/mm] sind überabzählbar (und z.B. ist [mm] $]\frac{1}{2},1] \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]$ [/mm] ), aber [mm] $C\,$ [/mm] wäre abzählbar.
Ich behaupte mal folgendes:
[mm] $$I)\;\;\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \subseteq \blue{]0,1]}\,.$$
[/mm]
Kannst Du [mm] $I)\,$ [/mm] beweisen? (Es ist zu zeigen: Wählen wir irgendein $x [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,,$ [/mm] so gilt $0 < x [mm] \le 1\,:$ [/mm]
Ist $x [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $n=n_x \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\ldots$)
[/mm]
Jetzt behaupte ich auch noch
[mm] $$II)\;\;\blue{]0,1]} \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,.$$
[/mm]
(Zu zeigen ist bei [mm] $II)\,$: [/mm] Ist $x [mm] \in ]0,1]\,,$ [/mm] so existiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $x [mm] \in ]\frac{1}{n+1},1]\,.$)
[/mm]
Was kannst Du aus [mm] $I)\,$ [/mm] und [mm] $II)\,$ [/mm] dann folgern?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ZuluI |
> Hallo,
>
Hallo Marcel,
> > für x [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\blue{n} \to \infty[/mm]!
sry, Tippfehler :(
>
> > sehe ich, dass der Intervallbereich immer
> > größer wird, weil die linke Grenze per Definition gegen 0
> > strebt und sich das ganze im Intervall ]0;1] abspielt.
>
> Das ist eine interessante Feststellung!
>
> > Meine Folgerung:
> > [mm]A:=\{\bruch{1}{1+n}|n\in\IN\}[/mm]
> >
> > [mm]B:=\{1\}[/mm]
> >
> > [mm]C=A\cup[/mm] B
> >
> > Wodurch C die Menge des Ausgangsausdrucks wäre?!
>
> Also soweit ich das überblicke:
> Das kann doch schon nicht sein, alleine schon aus
> Abzählbarkeitsgründen:
> Denn Intervalle der Art [mm]]a,b]\,[/mm] mit [mm]a < b\,,[/mm] sind
"> überabzählbar" Was meinst du damit?
>(und z.B. ist [mm]]\frac{1}{2},1] \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1][/mm]
> ), aber [mm]C\,[/mm] wäre abzählbar.
>
> Ich behaupte mal folgendes:
> [mm]I)\;\;\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \subseteq \blue{]0,1]}\,.[/mm]
>
> Kannst Du [mm]I)\,[/mm] beweisen?
Denke schon:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{n+1}= [/mm] 1 wenn 0 [mm] \in \IN
[/mm]
Wenn x [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ]0,1] aber schöpft ]0,1] nicht aus!
X [mm] \subset [/mm] ]0,1]
>(Es ist zu zeigen: Wählen wir
> irgendein [mm]x \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,,[/mm] so
> gilt [mm]0 < x \le 1\,:[/mm]
> Ist [mm]x \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,,[/mm] so
> existiert ein [mm]n=n_x \in \IN[/mm] mit [mm]\ldots[/mm])
>
> Jetzt behaupte ich auch noch
> [mm]II)\;\;\blue{]0,1]} \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,.[/mm]
Ich meine dies widerlegen zu können:
Annahme [mm] x=\bruch{2}{3}
[/mm]
für [mm] \bruch{2}{3} [/mm] finde ich aus [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] kein n [mm] \in\IN [/mm] .
>
> (Zu zeigen ist bei [mm]II)\,[/mm]: Ist [mm]x \in ]0,1]\,,[/mm] so existiert
> ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]x \in ]\frac{1}{n+1},1]\,.[/mm])
>
> Was kannst Du aus [mm]I)\,[/mm] und [mm]II)\,[/mm] dann folgern?
[mm] \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \subseteq [/mm] ]0,1]
]0,1] [mm] \supset \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]
[/mm]
?!
Gruß Lars
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> > > Meine Folgerung:
> > > [mm]A:=\{\bruch{1}{1+n}|n\in\IN\}[/mm]
> > >
> > > [mm]B:=\{1\}[/mm]
> > >
> > > [mm]C=A\cup[/mm] B
> > >
> > > Wodurch C die Menge des Ausgangsausdrucks wäre?!
Hallo,
es wäre dann [mm] C=\{1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, \bruch{1}{4}, ...\}
[/mm]
> >
> > Also soweit ich das überblicke:
> > Das kann doch schon nicht sein, alleine schon aus
> > Abzählbarkeitsgründen:
> > Denn Intervalle der Art [mm]]a,b]\,[/mm] mit [mm]a < b\,,[/mm] sind
>
> "> überabzählbar" Was meinst du damit?
Weißt Du überhaupt, was ]a,b] bedeutet: [mm] \{x\in \IR| a
In diesem intervall sind sehr viele Zahlen drin!
("überabzählbar" bedeutet, daß es so viiele sind, daß man keine Bijektion auf die natürlichen Zahlen findet.)
Wenn Dir klar ist, daß ]a,b] sehr viele Zahlen umfaßt, dann reicht das erstmal.
Eine Teilmenge von [mm] \bigcup ]\bruch{1}{n+1},1] [/mm] ist sicher das Intervall [mm] ]\bruch{1}{3},1], [/mm] und in Deiner Menge C von oben kommen viele Elemente dieses Intervalls gar nicht vor, z.B. [mm] 1-\bruch{\wurzel{2}}{10}.
[/mm]
>
> >(und z.B. ist [mm]]\frac{1}{2},1] \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1][/mm]
> > ), aber [mm]C\,[/mm] wäre abzählbar.
> >
> > Ich behaupte mal folgendes:
> > [mm]I)\;\;\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \subseteq \blue{]0,1]}\,.[/mm]
>
> >
> > Kannst Du [mm]I)\,[/mm] beweisen?
> Denke schon:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm] = 0
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{n+1}=[/mm] 1 wenn 0 [mm]\in \IN[/mm]
>
> Wenn x [mm]\in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \Rightarrow[/mm]
> x [mm]\in[/mm] ]0,1]
Du beweist hier nicht, sondern Du behauptest.
> aber schöpft ]0,1] nicht aus!
Was meinst Du damit, daß x das Intervall ]0,1] nicht "ausschöpft"?.
ich zeige Dir mal, wie man's richtig anfangen würde:
Sei
x [mm][mm] \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]
[/mm]
==> es gibt ein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] x\in \bruch{1}{k+1},1] \qquad [/mm] in Worten: dann liegt x in (mindestens) einem solchen Intervall (nach Def. der Vereinigungsmenge)
==> [mm] ...
==> ???
> X [mm]\subset[/mm] ]0,1]
Eine Menge X hatten wir bisher gar nicht. Das x von eben ist ein Element der Vereinigungsmenge.
>
> >(Es ist zu zeigen: Wählen wir
> > irgendein [mm]x \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,,[/mm] so
> > gilt [mm]0 < x \le 1\,:[/mm]
> > Ist [mm]x \in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,,[/mm] so
> > existiert ein [mm]n=n_x \in \IN[/mm] mit [mm]\ldots[/mm])
> >
> > Jetzt behaupte ich auch noch
> > [mm]II)\;\;\blue{]0,1]} \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,.[/mm]
>
> Ich meine dies widerlegen zu können:
> Annahme [mm]x=\bruch{2}{3}[/mm]
> für [mm]\bruch{2}{3}[/mm] finde ich aus [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] kein n
> [mm]\in\IN[/mm] .
Ich finde eins: [mm] \bruch{2}{3} \in ]\bruch{1}{3}, [/mm] 1].
Gruß v. Angela
>
>
>
> >
> > (Zu zeigen ist bei [mm]II)\,[/mm]: Ist [mm]x \in ]0,1]\,,[/mm] so existiert
> > ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]x \in ]\frac{1}{n+1},1]\,.[/mm])
> >
> > Was kannst Du aus [mm]I)\,[/mm] und [mm]II)\,[/mm] dann folgern?
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \subseteq[/mm] ]0,1]
> ]0,1] [mm]\supset \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1][/mm]
>
> ?!
>
> Gruß Lars
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:36 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ZuluI |
>
> > > > Meine Folgerung:
> > > > [mm]A:=\{\bruch{1}{1+n}|n\in\IN\}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]B:=\{1\}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]C=A\cup[/mm] B
> > > >
> > > > Wodurch C die Menge des Ausgangsausdrucks wäre?!
>
> Hallo,
Hallo Angela,
>
> es wäre dann [mm]C=\{1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, \bruch{1}{4}, ...\}[/mm]
>
>
> Weißt Du überhaupt, was ]a,b] bedeutet: [mm]\{x\in \IR| a
Ist mir klar.
>
> In diesem intervall sind sehr viele Zahlen drin!
> ("überabzählbar" bedeutet, daß es so viiele sind, daß
> man keine Bijektion auf die natürlichen Zahlen findet.)
Ist mir klar.
>
> Eine Teilmenge von [mm]\bigcup ]\bruch{1}{n+1},1][/mm] ist sicher
> das Intervall [mm]]\bruch{1}{3},1],[/mm] und in Deiner Menge C von
> oben kommen viele Elemente dieses Intervalls gar nicht vor,
> z.B. [mm]1-\bruch{\wurzel{2}}{10}.[/mm]
Hier war gestern wahrscheinlich mein Fehler, ich bin die ganze Zeit von ausgegangen, dass aus [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] immer ein konkreter Wert herausgekommt der im angegebenen Intervall liegt und ein Element der Menge C ist.
>
>
>
>
> >und z.B. ist [mm]]\frac{1}{2},1] \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1][/mm]
> aber [mm]C\,[/mm] wäre abzählbar.
Weil zu jedem n eine neue Teilmenge von [mm] \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] [/mm] hinzukommen würde.
Anzahl der eingesetzten n = Anzahl der Teilmengen
> > > Ich behaupte mal folgendes:
> > > [mm]I)\;\;\bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \subseteq \blue{]0,1]}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Kannst Du [mm]I)\,[/mm] beweisen?
> > Denke schon:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm] = 0
> > [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{n+1}=[/mm] 1 wenn 0 [mm]\in \IN[/mm]
Bis hier hin beweise ich die Intervallgrenzen, korrekt?
> Wenn x [mm]\in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] \Rightarrow[/mm]
> > x [mm]\in[/mm] ]0,1]
Also muss x wenn es ein Element einer Teilmenge von [mm] \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1] [/mm] ist, auch ein Element des Intervalls ]0,1] sein, da die Intervallgrenzen durch die Grenzwertbestimmung nachgewiesen sind.
> Du beweist hier nicht, sondern Du behauptest.
> > aber schöpft ]0,1] nicht aus!
>
> Was meinst Du damit, daß x das Intervall ]0,1] nicht
> "ausschöpft"?.
Hier bin ich noch von ausgegangen dass C konkrete Werte im Intervall ]0,1] beschreibt und keine Teilmengen des Intervalls ]0,1]. Folgerung von mir war, dass zwischen den Werten [mm] \{1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, \bruch{1}{4}, ...\} [/mm] sich Zahlen wie [mm] \bruch{2}{3} [/mm] befinden die nicht Element von C sind und somit C nicht alle Werte im Intervall ]0,1] umfasst.
> ich zeige Dir mal, wie man's richtig anfangen würde:
>
> Sei
>
> x [mm][mm]\in \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1][/mm]
==> es gibt ein [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]x\in \bruch{1}{k+1},1] \qquad[/mm] in Worten: dann liegt x in (mindestens) einem solchen Intervall (nach Def. der Vereinigungsmenge)
==> [mm]...
0< [mm] x\le [/mm] 1 ?!
==> ???
x [mm] \in \IR [/mm] ]0,1] ?!
> X [mm]\subset[/mm] ]0,1]
Eine Menge X hatten wir bisher gar nicht. Das x von eben ist ein Element der Vereinigungsmenge.
Wollte damit ausdrücken, dass alle geeigneten x [mm] \in [/mm] ]0,1] sind.
> > Jetzt behaupte ich auch noch
> > [mm]II)\;\;\blue{]0,1]} \subseteq \bigcup_{n\in\IN}]\bruch{1}{n+1},1]\,.[/mm]
>
> Ich meine dies widerlegen zu können:
> Annahme [mm]x=\bruch{2}{3}[/mm]
> für [mm]\bruch{2}{3}[/mm] finde ich aus [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] kein n
> [mm]\in\IN[/mm] .
>Ich finde eins: [mm]\bruch{2}{3} \in ]\bruch{1}{3},[/mm] 1].
Folgefehler von mir durch falsche Ausgangsannahme.
>Gruß v. Angela
Gruß ZuluI
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 19.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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