Mengen abzählbar sind < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mi 06.11.2013 | | Autor: | infaktor |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgenden Mengen abzählbar sind!
a) Menge der geraden natürlichen Zahlen
b) Menge der ungeraden natürlichen Zahlen
c) Menge aller Quadratzahlen
d) ℕ x ℕ x ℕ |
Wie soll ich vorgehen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass folgenden Mengen abzählbar sind!
> a) Menge der geraden natürlichen Zahlen
> b) Menge der ungeraden natürlichen Zahlen
> c) Menge aller Quadratzahlen
> d) ℕ x ℕ x ℕ
> Wie soll ich vorgehen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was bedeutet denn "abzählbar" (Definition)?
Diese Definition liefert die Antort darauf, was zu tun ist.
Was hast Du bereits getan, und wo genau liegt Dein Problem?
LG Angela
> Danke
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mi 06.11.2013 | | Autor: | infaktor |
Bin ratlos wie ich es beweisen soll.
für jeden Teil hab ich die Menge so geschrieben:
G steht für die gerade [mm] \IN [/mm] und U-ungerade [mm] \IN
[/mm]
a) G={n [mm] \in \IN [/mm] | [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n = 2k}
b) U={n [mm] \in \IN [/mm] | [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n = 2k-1}
c) G={n [mm] \in \IN [/mm] | [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n = [mm] k^2 [/mm] }
d) da weiß ich nicht
und jetzt soll ich Induktion anwenden oder Nullfolgen?
bin im Erstensemester, in Mathe nicht so hell, aber gebe mir Mühe es zu verstehen.
Dank für Ihr Verständnis
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> Bin ratlos wie ich es beweisen soll.
> für jeden Teil hab ich die Menge so geschrieben:
>
> G steht für die gerade [mm]\IN[/mm] und U-ungerade [mm]\IN[/mm]
>
> a) [mm] G=\{n\in \IN|\exists k\in \IN : n = 2k\}
[/mm]
> b) [mm] U=\{n\in \IN|\exists k\in \IN : n = 2k-1\}
[/mm]
> c) [mm] G=\{nn\in \IN|\exists k\in \IN : n = k^2 \}
[/mm]
Hallo,
gut, daß Du die Mengen schonmal hingeschrieben hast.
Die Menge in c) sollte aber lieber nicht G heißen.
> d) da weiß ich nicht
in [mm] \IN\times \IN\times \IN [/mm] sind Dreitupel, deren Einträge aus [mm] \IN [/mm] sind. Z.B. ist (1,2,3) in der Menge oder auch (4711, 2, 815).
Es ist [mm] \IN\times \IN\times \IN=\{(x,y,z)| x,y,z\in \IN\}
[/mm]
>
> und jetzt soll ich Induktion anwenden oder Nullfolgen?
Wer sagt das?
> bin im Erstensemester, in Mathe nicht so hell, aber gebe
> mir Mühe es zu verstehen.
Das ist gut.
Ich würde a), b), c) mithilfe der Definition für "abzählbar" lösen. Die müßtest Du mal in Deiner Mitschrift o.ä. nachschlagen.
Falls Ihr schon hattet, daß das Kartesische Produkt abzählbarer Mengen abzählbar ist, würde ich das bei d) verwenden.
> Dank für Ihr Verständnis
Du kannst uns alle hier duzen.
Unser Verständnis geht gegen Unendlich, sofern wir merken, daß das Gegenüber sich bemüht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mi 06.11.2013 | | Autor: | infaktor |
Nun ja ich habe versucht... Angela, ich habe keinen blassen Schimmer wie es geht... Mit Induktion geht es nicht weil die Induktion Vorausssetzung n=2k geht schon nicht, wäre möglich nur mit n=2n...
und kartesische Produkt verstehe ich nicht.
Ich verstehe Du wilsst mir keine fertige Lösung geben... Nun vielleicht kannst du es mir trotz dessen weiter Helfen, ohne dass ich den ganzen Internet durchsurfe? Bitte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mi 06.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Wie bei Euch "abzählbar" def. wurde hast Du immer noch nicht verraten.
Def.: eine nichtleere Menge M heißt abzählbar : [mm] \gdw [/mm] es ex. eine surjektive Abb. f: [mm] \IN \to [/mm] M.
Nun gehen wir damit mal die Menge G der geraden natürlichen Zahlen an:
[mm] G:=\{2n:n \in \IN\} [/mm]
Wir def. f: [mm] \IN \to [/mm] G durch
f(n):=2n.
Begründe, dass f surjetiv ist.
Bingo ! G ist abzählbar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 06.11.2013 | | Autor: | infaktor |
"abzählbar" kann man auch mit Kongruenz-Relation irgendwie begründen?
wenn nicht dann war deine Def. ist die Definition die wir verwenden
Muss ich dann auch begründen dass f surjektiv ist?
Ist diese Lösung analog für b)? und wie gehe ich dann bei c) und d) vor?
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Hallo,
> "abzählbar" kann man auch mit Kongruenz-Relation irgendwie
> begründen?
Wenn Du eine passende Relation findest, ja.
> wenn nicht dann war deine Def. ist die Definition die wir
> verwenden
Ja, das ist auch die übliche. Man muss sozusagen die Elemente der zu betrachtenden unendlichen Menge "durchnummerieren" können.
> Muss ich dann auch begründen dass f surjektiv ist?
Entweder das, oder Du zeigst, dass alle geraden Zahlen so bijektiv auf die natürlichen Zahlen abgebildet werden (und damit logischerweise auch umgekehrt).
> Ist diese Lösung analog für b)? und wie gehe ich dann
> bei c) und d) vor?
Ja, b) geht im Prinzip genauso, nur muss die Funktion da etwas anders heißen.  Und bei c) kannst Du das Prinzip auch anwenden.
Für d) funktioniert das nicht. Auch die Überlegung, wie man 3-Tupel "normal" lexikalisch anordnet, führt nicht zum Ziel. Du brauchst eine andere Anordnung, so dass die Tupel eindeutig nummerierbar werden.
Schau Dir mal an, wie das "zweidimensional" geht. Da windet sich eine Schlange in immer länger werdenden Diagonalen über eine Zahlenebene (bzw. eben nur einen Quadranten davon).
Und wenn Du diese Idee verstanden hast, findest Du wahrscheinlich auch eine, die das ganze "dreidimensional" erledigt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 06.11.2013 | | Autor: | infaktor |
Bitte, liebe Leute, drück die Auge ein mal auf eure Prinzipien zu und hilft ein dummen Kerl in den diskreten Strukturen Aufgabe zu lösen... brauche die Lösungen mit Erklärung für die Dummen... dann kommt vielleic ht die Erleuchtung zu mir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 06.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bitte, liebe Leute, drück die Auge ein mal auf eure
> Prinzipien zu und hilft ein dummen Kerl in den diskreten
> Strukturen Aufgabe zu lösen... brauche die Lösungen mit
> Erklärung für die Dummen... dann kommt vielleic ht die
> Erleuchtung zu mir
ich hab Dir doch vorgemacht, wie man die Abzählbarkeit von
$ [mm] G:=\{2n:n \in \IN\} [/mm] $
zeigt.
Fast genauso erledigt man die Aufgabenteile b) und c).
mach Dich doch mal ans Werk !
Über d) reden wir später.
FRED
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U: = [mm] \{2n-1: n \in \IN \}
[/mm]
Wir def. f: [mm] \IN \to [/mm] U durch f(n): = 2n-1
Q: = [mm] \{n^2: n \in \IN \}
[/mm]
Wir def. f: [mm] \IN \to [/mm] Q durch f(n): = [mm] n^2
[/mm]
Fertig?
und wie begründe ich dass es sich um eine surjektive Abbildung handelt?
surjektiv heißt dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat...
das heißt was in diesem Fall bei mir?
wie kann ich nun dann bei [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] Abzählbarkeit beweisen
Danke für Ihr Geduld mit mir ;D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 06.11.2013 | | Autor: | infaktor |
U = 2n-1 ist surjektiv, denn für jede Zahl U gibt es ein Urbild. Aus U = 2n+1 erhält man durch Äquivalenzumformung die Gleichung n= (U-1)/2, womit sich für jedes U ein Urbild n berechnen lässt? Kann man so die Surjektivität beweisen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:34 Do 07.11.2013 | | Autor: | infaktor |
U = 2n-1 ist surjektiv, denn für jede Zahl U gibt es ein Urbild. Aus U = 2n+1 erhält man durch Äquivalenzumformung die Gleichung n= (U-1)/2, womit sich für jedes U ein Urbild n berechnen lässt? Kann man so die Surjektivität beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> U = 2n-1 ist surjektiv,
Das ist doch Unfug !!! U ist eine Menge, 2n-1 eine Zahl !!
> denn für jede Zahl U gibt es ein
> Urbild. Aus U = 2n+1 erhält man durch Äquivalenzumformung
> die Gleichung n= (U-1)/2, womit sich für jedes U ein
> Urbild n berechnen lässt? Kann man so die Surjektivität
> beweisen?
nein.
Sei m [mm] \in [/mm] U. Dann ex. ein n [mm] \in \IN [/mm] mit m=2n-1. Folglich ist f(n)=m.
Fertig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Do 07.11.2013 | | Autor: | infaktor |
Danke FRED
Kannst du mir noch den Trippel [mm] \IN [/mm] X [mm] \IN [/mm] X [mm] \IN [/mm] erklären?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Tripel sind alle Punkte im [mm] \IR^3 [/mm] mit natürlichen Zahlen als Koordinaten, alse etwa (1,1,1) (17,133,2013) usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 07.11.2013 | | Autor: | infaktor |
Zählt das auch wirklich schon als Beweis? Ist das jetzt surjektiv oder bijektiv und warum?
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> Zählt das auch wirklich schon als Beweis?
Hallo,
natürlich nicht! Oder hast Du gemerkt, daß irgendetwas bewiesen wurde?
> Ist das jetzt
> surjektiv oder bijektiv und warum?
Ich muß Dich warnen: wenn Du nicht sofort beginnst, Dich sehr gründlich mit der Materie auseinanderzusetzen, wirst Du das Fach Mathematik nicht bestehen.
Surjektiv und bijektiv sind doch Eigenschaften, die Abbildungen haben können, und nicht welche von Mengen!
Zum Beweis der Aussage hatte ich Dir bereits etwas gesagt, bisher hast Du nicht verraten, ob die benötigte Aussage in der Vorlesung bereits besprochen wurde. Das wäre das Bequemste.
Ansonsten hatte Dir jemand den Tip gegeben, mal anzuschauen, wie das für [mm] \IN\times \IN [/mm] geht, und Dich davon inspirieren zu lassen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Do 07.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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