Mengen ,Abb. korrigiert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 So 13.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Seien X , Y nicht-leere Mengen und f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung non X nach Y
Prüfen Sie nach , dass
a) f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] [ [mm] \forall (A_{1} [/mm] , [mm] A_{2})\in [/mm] P(X) X P(X) :
[mm] f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] = [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2}) [/mm] ]
b) f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] [ [mm] \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] P(Y) : f ( [mm] f^{-1} [/mm] (B)) = B ] |
Hallo erstmal ,
zu a
Die Bedingung für die Injektivität ist ja :
f(x) = [mm] f(x^{`} \Rightarrow [/mm] x = [mm] x^{`}
[/mm]
Nach der Vorraussetzung
[mm] f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] = [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2}) [/mm] ]
ist die Menge der Abbildungen der Elemente des Durchschnittes von [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] gleich dem Durchschnitts der Menge der Abbildungen
von [mm] A_{1} [/mm] und der Menge der Abbildungen von [mm] A_{2}
[/mm]
bräuchte dringend mal nen Tip
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 So 13.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
um vielleich mal einen ansatz für den anfang zu liefern: für a) [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] nimm mal [mm] $(A_1, A_2) [/mm] = [mm] (\{x\}, \{x'\}) \in \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X)$. [/mm] was sagt die aussage dann über die mengen [mm] $f(\{x\}) [/mm] = [mm] \{f(x)\}$ [/mm] und [mm] $f(\{x'\}) [/mm] = [mm] \{f(x')\}$ [/mm] respektive deren schnnitt? kann man das mit der bedingung für injektivität (hier bietet sich genau die "umgekehrte" formulierung von der von dir gegeben an: $x [mm] \not= [/mm] x' [mm] \; \Rightarrow \; [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x')$) in verbindung bringen?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Ich nehme an : x [mm] \not= x^{`}
[/mm]
Durch Folgerungen muss ich dorthin kommen : f(x) [mm] \not= f(x^{`})
[/mm]
Also :
x [mm] \not= x^{`} \Rightarrow {f(x)\} \cap {f(x')\} [/mm] = [mm] {\emptyset}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x')
Das war mehr hilflosigkeit als Erleuchtung
stehe auf dem schlauch , ein mini Tip noch ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Mo 14.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich nehme an : x [mm]\not= x^{'}[/mm]
>
> Durch Folgerungen muss ich dorthin kommen : f(x) [mm]\not= f(x^{'})[/mm]
genau.
$x [mm] \not= [/mm] x' [mm] \; \Rightarrow \; \{x\} \cap \{x'\} [/mm] = [mm] \emptyset \; \stackrel{f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)}{\Longrightarrow} \; f(\{x\}) \cap f(\{x'\}) [/mm] = [mm] \emptyset \; \Rightarrow \; [/mm] f(x) [mm] \not [/mm] = f(x')$ (beachte dabei [mm] $f(\{y\}) [/mm] = [mm] \{f(y)\}$ [/mm] für jedes $y$).
ich hoffe das hilft dir weiter.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
Du hast doch für A1 x und für A2 x´ gesetzt ,
aber warum bedeutet A1 [mm] \not= [/mm] A2 auch A1 [mm] \cap [/mm] A2 := [mm] {\emptyset}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Du hast doch für A1 x und für A2 x´ gesetzt ,
Hallo,
nein.
Sondern: andreas hat [mm] x,x'\in [/mm] X mit [mm] x\not=x' [/mm] genommen und definiert
[mm] A_1:=\{x\}, A_2:=\{x'\}.
[/mm]
>
> aber warum bedeutet A1 [mm]\not=[/mm] A2 auch A1 [mm]\cap[/mm] A2 :=
> [mm]{\emptyset}[/mm]
Da [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] jeweils nur ein Element enthalten und die beiden Elemente verschieden sind, ist der Schnitt leer.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo und Danke erstmal ,
nun mal ein Lösungsversuch für a :
Ich setze für A1 : {x} un für A2 : {x'}
mit x [mm] \not= [/mm] x'
zu zeigen : x [mm] \not= [/mm] x' [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x')
Nach Vorraussetzung : {x} [mm] \cap [/mm] {x'} := [mm] {\emptyset}
[/mm]
[mm] f({x}\cap{x'}) [/mm] = f({x}) [mm] \cap [/mm] f({x'})
[mm] \Rightarrow f({\emptyset}) [/mm] = f({x}) [mm] \cap [/mm] f({x'})
[mm] \Rightarrow [/mm] {f(x) [mm] \cap [/mm] f(x')} = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x') qed.
komme ich der Wahrheit näher ??
|
|
|
| |
|
Hallo,
> nun mal ein Lösungsversuch für a :
Seien x,x' [mm] \in [/mm] X
> zu zeigen : x [mm]\not=[/mm] x' [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm] f(x')
Bew::
Seien x,x' [mm] \in [/mm] X
> mit x [mm]\not=[/mm] x'
Dann ist
> {x} [mm]\cap[/mm] {x'} = [mm]{\emptyset}[/mm]
> Ich setze [mm] A1\red{:=}\{x\} [/mm] und A2 [mm] \red{:=}\{x'\}
[/mm]
> Nach Voraussetzung
gilt $ [mm] f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] $ = $ [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] $ f $ [mm] (A_{2}) [/mm] $ ,
also
> [mm]f({x}\cap{x'})[/mm] = f({x}) [mm]\cap[/mm] f({x'})
>
> [mm]\Rightarrow f(\emptyset)[/mm] = f({x}) [mm]\cap[/mm] f({x'})
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\emptyset[/mm][mm] =\red{ \{}f(x)\red{ \}}[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm] \red{ \{} f(x')\red{ \}} [/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm] f(x') qed.
>
> komme ich der Wahrheit näher ??
Ja. Ich habe ein paar Dinge umgestellt, damit man den Beweis richtig schön geradeaus lesen kann.
Das war jetzt die Rückrichtung von a).
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:13 Di 15.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Danke angela , jetzt brauch ich also noch die andere Richtung :
f(x) [mm] \not= [/mm] f(x`)
[mm] \Rightarrow [/mm] {f(x) [mm] \cap [/mm] f(x`)} = [mm] \emptyset
[/mm]
da {f(x [mm] \cap [/mm] x`)} = {f(x) [mm] \cap [/mm] f(x`)}
[mm] \Rightarrow [/mm] {f(x [mm] \cap [/mm] x`)} = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ( x [mm] \cap [/mm] x`) = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not= [/mm] x`
f(x) [mm] \not= [/mm] f(x`) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not= [/mm] x`
[mm] \wedge
[/mm]
x [mm] \not= [/mm] x` [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x`)
demnach : f(x) [mm] \not= [/mm] f(x`) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not= [/mm] x`
[mm] \Rightarrow [/mm] : f ist injektiv
Vielen Dank Anhela und Andy
jab ichs gepackt ???
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube, Du hast noch nicht ganz verstanden, was für die Hin-Richtung zu zeigen ist.
Es ist am Anfang sehr nützlich, sich genau aufzuschreiben, was man zeigen möchte. Dann vergißt man es auch selbst nicht.
Also:
Voraussetzung:
Es ist f: [mm] X\to [/mm] Y eine injektive Abbildung,
(dh. für alle [mm] x,x'\in [/mm] X gilt: (f(x)=f(x') ==> x=x' ) [oder die Kontraposition, falls Du die lieber verwendest.]
Zu zeigen:
Für beliebige Teilmengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] von X gilt dann: $ [mm] f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] $ = $ [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] $ f $ [mm] (A_{2}) [/mm] $ , dh. es ist zu zeigen
i) [mm] (f(A_{1} \cap A_{2})\subseteq [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})), [/mm]
d.h. [mm] y\in f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] ==> y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2}))
[/mm]
und
ii) ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) \subseteq f(A_{1} \cap A_{2}),
[/mm]
d.h. y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm] ==> [mm] y\in f(A_{1} \cap A_{2})
[/mm]
Beweis:
Seien [mm] A_1,A_2 \subseteq [/mm] X .
i) Sei y [mm] \in f(A_{1} \cap (A_{2})
[/mm]
==> ... Nun folgt ein Spiel mit Definitionen, Du mußt z.B wissen, was es bedeutet, wenn y im Schnitt zweier Mengen liegt. Sicher steht das auch in Eurem Skript. Du solltest jeden Schritt, den Du tust, begründen, z.B. "nach Def. des Schnittes".
==> y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})).
[/mm]
Also ist [mm] (f(A_{1} \cap A_{2})\subseteq [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2}))
[/mm]
ii) Sei y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm] ==> ... ==> [mm] y\in f(A_{1} \cap A_{2}).
[/mm]
Also ist ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) \subseteq f(A_{1} \cap A_{2}).
[/mm]
Auf das, was Du zuvor schriebst, möchte ich nur kurz eingehen.
Du mußt immer wissen bzw. Dich vergewissern, ob Du gerade mit Elementen oder mit Mengen hantierst.
f(x) ist ein Element (aus Y),
[mm] \{f(x)\} [/mm] ist eine Menge mit einem Element, eine Teilmenge von Y,
[mm] f(\{x\}) [/mm] ist eine Menge, nämlich die Menge [mm] \{f(x)\}.
[/mm]
Schnitte kann man nur von Mengen bilden, deshalb ist so etwas sinnlos:
> [mm] \{f(x) \cap f(x')\} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]
Sinnvoll wäre der Ausdruck [mm] \{f(x) \} \cap \{f(x')\} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Di 15.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hi ,
klar, ( ich Esel ) , der Hinweg läuft so : zu zeigen ist
f ist injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f( A1 [mm] \cap [/mm] A2 ) = f(A1) [mm] \cap [/mm] f(A2)
richtig ?
wenn man folgende i) und ii) gezeigt hast
i) [mm] (f(A_{1} \cap A_{2})\subseteq [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})), [/mm]
d.h. [mm] y\in f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] ==> y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm]
und
ii) ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) \subseteq f(A_{1} \cap A_{2}), [/mm]
d.h. y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm] ==> [mm] y\in f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm]
dann hat man gezeigt gezeigt ,dass
[mm] (f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] = ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2}))
[/mm]
Wenn das gelingt unter der vorraussetzung der Injektivität :
x = x` [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(x`)
dann istmein Hinweg fertig oder ??
hab ich das Prinzip jetzt verstanden ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, der Plan steht, und Du scheinst ihn verstanden zu haben.
Grußv. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 15.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hey ,
hast du dich hier evtl vertan ?? :
i) Sei y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm]
==> ... Nun folgt ein Spiel mit Definitionen, Du mußt z.B wissen, was es bedeutet, wenn y im Schnitt zweier Mengen liegt. Sicher steht das auch in Eurem Skript. Du solltest jeden Schritt, den Du tust, begründen, z.B. "nach Def. des Schnittes".
==> y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})). [/mm]
Also ist [mm] (f(A_{1} \cap A_{2})\subseteq [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm]
müsste es nicht so sein ?? :
i) Sei y [mm] \in (f(A_{1} \cap A_{2})
[/mm]
==> ... Nun folgt ein Spiel mit Definitionen, Du mußt z.B wissen, was es bedeutet, wenn y im Schnitt zweier Mengen liegt. Sicher steht das auch in Eurem Skript. Du solltest jeden Schritt, den Du tust, begründen, z.B. "nach Def. des Schnittes".
==> y [mm] \in [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})). [/mm]
Also ist [mm] (f(A_{1} \cap A_{2})\subseteq [/mm] ( [mm] f(A_{1}) \cap [/mm] f [mm] (A_{2})) [/mm]
Gruß Thomas
|
|
|
| |
|
> hast du dich hier evtl vertan ?? :
Hallo,
ja, da habe ich leider aus der falschen Zeile etwas hereinkopiert.
Ich hab's inzwischen in dem betreffenden Post korrigiert.
Danke für den Hinweis.
gruß v. Angela
|
|
|
|
