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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Onepath |
| Aufgabe | | Seien A und B Mengen, Zeigen Sie : [mm] \mathcal{P} [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B)= [mm] \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P} [/mm] (B) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Das heißt ich muss doch zeigen:
[mm] \mathcal{P} [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P} [/mm] (B) und [mm] \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P} [/mm] (B) [mm] \subseteq \mathcal{P} [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B) richtig?
Meine Lösung:
1. Inklusion: Sei x [mm] \in \mathcal{P} [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B). Daraus folgt, dass x [mm] \subseteq [/mm] A ist und wegen dem Durchschnitt auch [mm] \subseteq [/mm] von B. Folglich ist x [mm] \in \mathcal{P}(A) [/mm] und [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (B)
2. Inklusion: Sei x x [mm] \in \mathcal{P}(A) [/mm] und [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (B). Wie mach ich nu weiter? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Tipsi |
Hallo,
deine Beweisidee ist richtig.
Die erste Richtung müsste so weit stimmen.
Für die Gegenrichtung:
Sei y \in P(A) \cap P(B)
Nach Voraussetzung für y und Definition der Schnittmenge gilt y \in P(A) ∧ y \in P(B) .
Daher gilt: y \subseteq A ∧ y \subseteq B.
Also ist y \subseteq A ∩ B.
D.h. y \in P(A ∩ B).
LG
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