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| Aufgabe | Stellen sie die Mengen graphisch dar:
[mm] A= {(x,y) \in \IR^2 | \\\ |x+2| + |y-1| \le 4 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich weiß nicht so recht wie ich eine Menge graphisch darstellen soll.
Also mein Lösungsansatz wäre das ich die Ungleichung nach y auflöse und dann erhalte:
[mm] y \le 3-x [/mm] sodass ich nachher ein rechtwinkliges Dreieck im Koordinatensystem erhalte dessen Hyphotenuse durch x=3 und y=3 geht und dessen Soitze des rechten Winkels in (0,0) liegt.
Kann das seien?
Ach ja und als Steigung hab ich durch -x folglich -1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Stellen sie die Mengen graphisch dar:
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> [mm]A= {(x,y) \in \IR^2 | \\\ |x+2| + |y-1| \le 4 [/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> Hallo,
> ich weiß nicht so recht wie ich eine Menge graphisch
> darstellen soll.
> Also mein Lösungsansatz wäre das ich die Ungleichung nach
> y auflöse und dann erhalte:
> [mm]y \le 3-x[/mm] sodass ich nachher ein rechtwinkliges Dreieck im
Das sieht so aus, als hättest du die Betragstriche ignoriert.
Mir fallen gerade zwei Möglichkeiten ein:
1. Führe vier Fallunterscheidungen durch, so dass jeweils alle Beträge verschwinden. In allen vier Fällen erhältst du eine einfache Ungleichung, so dass du wie oben argumentieren kannst.
2. Überlege dir zunächst, wie die Menge [mm] $\{(a,b)\in\IR^2\ |\ |a|+|b|\le 4\}$ [/mm] aussieht. Die Substitution $a:=x+2$ und $b:=y-1$ bewirkt eine Verschiebung (Translation) der Menge im Koordinatensystem.
Viele Grüße,
Marc
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Du meinst bei den 4 Fallunterscheidungen sowas wie:
[mm] x \ge 0 ,y \ge 0 \ ;
x \ge \0 ,y \le 0\ ;
x \le 0 ,y \ge 0\ ;
x \le 0 ,y \le 0 [/mm]
Daraus erklärt es sich mir aber noch nicht, denn ich kann irgendwie mit Betragsstrichen nicht rechnen.
Also generell kann ich mir vorstellen wie ich eine gerade darstelle aber eine Menge, keine Ahnung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:57 Do 06.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Du meinst bei den 4 Fallunterscheidungen sowas wie:
> [mm]x \ge 0 ,y \ge 0 \ ;
x \ge \0 ,y \le 0\ ;
x \le 0 ,y \ge 0\ ;
x \le 0 ,y \le 0[/mm]
>
> Daraus erklärt es sich mir aber noch nicht, denn ich kann
> irgendwie mit Betragsstrichen nicht rechnen.
Dann lerne es schleunigst (als Mathe - Student)
> Also generell kann ich mir vorstellen wie ich eine gerade
> darstelle aber eine Menge, keine Ahnung
1. Fall: x+2 [mm] \ge [/mm] 0 und y-1 [mm] \ge [/mm] 0
2. Fall: x+2 [mm] \ge [/mm] 0 und y-1<0
3. Fall . jetzt Du
4. Fall. wieder Du
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Daraus erklärt es sich mir aber noch nicht, denn ich kann
> irgendwie mit Betragsstrichen nicht rechnen.
In Freds erstem Fall sind die Argumente aller Beträge positiv oder null, also hat
$|x+2|$ den Wert $x+2$ und
$|y-1$ den Wert $y-1$ (siehe Definition der  Betragsfunktion)
Das kannst du entsprechend in deiner Ungleichung ersetzen:
Fall 1: [mm] $|x+2|+|y-1|\le [/mm] 4$ [mm] $\gdw$ $x+2+y-1\le [/mm] 4$ [mm] $\gdw$ $y\le [/mm] 3-x$
In Freds 2. Fall ist Argument den ersten Betrags positiv oder null, das des zweiten Betrags negativ, also hat
$|x+2|$ den Wert $x+2$ und
$|y-1$ den Wert $-(y-1)$.
Das kannst du entsprechend in deiner Ungleichung ersetzen:
Fall 2: [mm] $|x+2|+|y-1|\le [/mm] 4$ [mm] $\gdw$ $x+2-(y-1)\le [/mm] 4$ [mm] $\gdw$ $y\ge [/mm] x-1$
Fall 3: ...
Fall 4: ...
> Also generell kann ich mir vorstellen wie ich eine gerade
> darstelle aber eine Menge, keine Ahnung
Die letzte Ungleichung am Ende jedes Falls ist eine lineare Ungleichung. Die Lösungsmenge ermitteltst du, indem du dir zunächst die entsprechende Gleichung als Graph vorstellst (z.B. im Fall 2 $y=x-1$) und dir dann überlegst, ob die Lösungen der Ungleichung oberhalb oder unterhalb des Graphen liegen. Beachte beim Zeichnen der Graphen die Definitionsmengen, die sich aus den Fallbedingungen ergeben.
Viele Grüße,
Marc
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