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| Aufgabe | eine Münze wird unendlich mal geworfen , [mm] A_{k}={6 -bei-k-ten Wurf}
[/mm]
Sei A gegeben durch
[mm] A:=\cap_{n\ge1}\cup_{k\ge n}A_{k}
[/mm]
Beschreiben das Ereignis A |
Wie kann man die A Menge verstehen..?
Mit der Schnittmenge und Vereinigung ,kommt mir kompliziert rüber ..
bzw wie schreibt man das aus..?
[mm] A:=\cap_{n \ge 1}\cup_{k \ge n}A_{k} [/mm] =( [mm] \cup_{k\ge1}A_{k} [/mm] ) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \cup_{k\ge2}A_{k} [/mm] ) .....? <= so vielleicht bzw ungefähr so..?
danke (ich hab das gleiche bei stochhastik für oberschule ausversehen gepostet ,das gehört zur zu hochschule :) sorry
voraus
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Edit: Bitte den nachfolgenden Artikel "Korrektur" beachten !
> eine Münze wird unendlich oft geworfen , [mm]A_{k}={6 -bei-k-ten Wurf}[/mm]
>
> Sei A gegeben durch
>
> [mm]A:=\cap_{n\ge1}\cup_{k\ge n}A_{k}[/mm]
>
> Beschreiben das Ereignis A
> Wie kann man die A Menge verstehen..?
> Mit der Schnittmenge und Vereinigung ,kommt mir
> kompliziert rüber ..
>
> bzw wie schreibt man das aus..?
>
> [mm]A:=\cap_{n \ge 1}\cup_{k \ge n}A_{k}[/mm] =( [mm]\cup_{k\ge1}A_{k}[/mm] )
> [mm]\cap[/mm] ( [mm]\cup_{k\ge2}A_{k}[/mm] ) .....? <= so vielleicht bzw
> ungefähr so..?
hallo Decehakan,
ich denke, dass man in diesem Fall die Mengenoperatoren
ganz einfach durch die entsprechenden Quantoren ersetzen
kann und damit zu einer leicht verständlichen Aussage kommt:
[mm] (\forall n\ge 1)(\exists k\ge n)A_k
[/mm]
Auf deutsch heisst dies: Für alle natürlichen Zahlen n gibt
es eine Zahl k grösser oder gleich n, so dass der k-te Wurf
eine Sechs ergibt. Kurz: "Nach genügend langem Würfeln
erscheint irgendwann eine Sechs".
Nun wieder zurück in die Mengensprache: Was ist eigentlich
die Grundmenge, bezüglich derer hier Ereignisse als Mengen
dargestellt werden sollen ? Das ist hier die Menge aller
denkbaren unendlichen Folgen aus Würfelzahlen.
Die besagte Menge A ist dann also die Menge aller Würfel-
folgen, bei welchen irgendwann eine Sechs vorkommt.
Die Komplementärmenge [mm] \overline{A} [/mm] wäre die Menge
aller (unendlichen!) Würfelfolgen, welche keine Sechs
enthalten, also nur die Zahlen 1,2,3,4,5 enthalten.
Nebenbei: [mm] \overline{A} [/mm] ist eine Menge mit dem Wahrscheinlich-
keitsmass Null, obwohl die Menge keineswegs leer ist.
Gruß ! Al-Chw.
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$ [mm] (\forall n\ge 1)(\exists k\ge n)A_k [/mm] $ das hab ich nicht verstanden..
Warum ist diese Menge kein $ [mm] \cup_{k\ge1}A_{k} [/mm] $ =Omega
= {1,2,3,4,5,6}hoch unendlich
denn der k-te wurf dass eine sechsvorkommt also [mm] a_{k}=6 [/mm] ,sagt ja über vorherige [mm] a_{k-J} [/mm] nichts aus und auch der nach kommenden a{k+i} nichts aus...
die zwei schreibweisen verwirren mich ... das war ein bisschen schwer verständlich von dir al-chawirisim..
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> [mm](\forall n\ge 1)(\exists k\ge n)A_k[/mm] das hab ich nicht
> verstanden..
>
>
> Warum ist diese Menge kein [mm]\cup_{k\ge1}A_{k}[/mm] =Omega
> = {1,2,3,4,5,6}hoch unendlich
>
> denn der k-te wurf dass eine sechsvorkommt also [mm]a_{k}=6[/mm]
> ,sagt ja über vorherige [mm]a_{k-J}[/mm] nichts aus und auch der
> nach kommenden a{k+i} nichts aus...
>
> die zwei schreibweisen verwirren mich ... das war ein
> bisschen schwer verständlich von dir al-chawirisim..
Guten Abend Decehakan !
Ich denke, ganz wichtig ist am Anfang hier schon,
sich klar zu machen, was hier eigentlich Omega und
die Elemente von Omega sind. Ein einzelnes Element
von Omega ist eine der (überabzählbar vielen!) möglichen
Wurffolgen. Ein Beispiel:
<3,1,5,2,2,6,3,1,5,2,2,6,3,1,5,2,2,6,......>
Wenn man nun das Ereignis [mm] A_k [/mm] als Teilmenge von
Omega schreiben will, ist [mm] A_k [/mm] die Menge aller Wurffolgen,
welche an der k-ten Stelle eine 6 haben (und an allen
anderen Stellen irgendwelche Werte aus [mm] \{1,2,3,4,5,6\}).
[/mm]
Wenn wir nun die gegebene Menge
[mm] A:=\cap_{n\ge1}\cup_{k\ge n}A_{k} [/mm]
betrachten, können wir schrittweise vorgehen:
[mm] B_n=\cup_{k\ge n}A_{k}
[/mm]
ist die Vereinigungsmenge aller Mengen [mm] A_k [/mm] für [mm] k\ge [/mm] n,
besteht also aus allen jenen Folgen, die an wenigstens
einer Stelle k mit [mm] k\ge [/mm] n eine Sechs enthalten.
Im zweiten Schritt wird die Durchschnittsmenge aus
allen Mengen [mm] B_n [/mm] (für [mm] n\in \IN) [/mm] gebildet:
[mm] A=\cap_{n\ge1}B_n
[/mm]
In der Menge A übrig bleiben also alle Würfelfolgen, für welche gilt:
"Für alle natürlichen Zahlen n gibt es wenigstens eine Zahl
k [mm] \ge [/mm] n so, dass an der k-ten Stelle der Folge eine 6 steht."
Dies kann man kurz so schreiben:
[mm] $(\forall n\ge 1)(\exists k\ge n)A_k$
[/mm]
Ich denke, damit sollte der Zusammenhang zwischen
den Mengenoperationen und den Quantoren [mm] \forall [/mm] und [mm] \exists
[/mm]
deutlich werden.
Es ist klar, dass dabei einiges an Gehirnakrobatik gefordert
ist, weil wir im gewöhnlichen Leben nicht so oft mit
Situationen umgehen müssen, in denen zwei oder
sogar mehr geschachtelte Quantoren (gar mit unendlichem
Grundbereich) nötig sind, obwohl Quantoren durchaus
in unserem Denken auch eine wichtige Rolle spielen.
Hoffentlich klingt dies nicht gar zu abstrakt oder philosophisch 
Al Chwarizmi
Bemerkung:
Im Sinne der Deutlichkeit der Überlegungen
wäre es wohl noch sinnvoll, typographisch einen Unterschied
zu machen zwischen der Aussage [mm] A_k [/mm] und der Menge (als Teil-
menge von Omega), welche die Aussage [mm] A_k [/mm] repräsentiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Decehakan |
Al-Chwarizmi danke für alles ,alles ist besser verständlicher geworden :)
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> Al-Chwarizmi danke für alles , alles ist besser
> verständlich geworden :)
ja, mir auch - habe mir Mühe gegeben ... gute Nacht !
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Der vorherige Artikel war so nicht in Ordnung
> ich denke, dass man in diesem Fall die Mengenoperatoren
> ganz einfach durch die entsprechenden Quantoren ersetzen
> kann und damit zu einer leicht verständlichen Aussage
> kommt:
>
> [mm](\forall n\ge 1)(\exists k\ge n)A_k[/mm]
>
> Auf deutsch heisst dies: Für alle natürlichen Zahlen n
> gibt
> es eine Zahl k grösser oder gleich n, so dass der k-te
> Wurf
> eine Sechs ergibt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kurz: "Nach genügend langem Würfeln
> erscheint irgendwann eine Sechs".
das ist zu kurz und entspricht nicht der strengeren
Aussage, die gemeint ist und so formuliert werden sollte:
"Wie lange man auch schon gewürfelt hat, es wird
stets wieder irgendwann eine Sechs auftreten"
> Nun wieder zurück in die Mengensprache: Was ist eigentlich
> die Grundmenge, bezüglich derer hier Ereignisse als Mengen
> dargestellt werden sollen ? Das ist hier die Menge aller
> denkbaren unendlichen Folgen aus Würfelzahlen.
>
> Die besagte Menge A ist dann also die Menge aller Würfel-
> folgen, bei welchen irgendwann eine Sechs vorkommt. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
A ist die Menge aller Würfelfolgen, welche keinen "Schwanz"
aus lauter Nicht-Sechsern enthalten.
> Die Komplementärmenge [mm]\overline{A}[/mm] wäre die Menge
> aller (unendlichen!) Würfelfolgen, welche keine Sechs
> enthalten, also nur die Zahlen 1,2,3,4,5 enthalten.
Auch das ist natürlich dann nicht korrekt. Richtig wäre:
[mm]\overline{A}[/mm] ist die Menge aller Würfelfolgen,
welche gar keine Sechs oder aber eine allerletzte Sechs
enthalten, nach welcher in unendlich vielen weiteren Würfen
keine einzige Sechs mehr auftritt.
Al-Chwarizmi
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