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Hallo!
Ich habe eigentlich nur eine kurze Frage zu Mengen:
[mm] A1=\{(-1)^n,(-1)^k|n,k \in \IN\}
[/mm]
Wir sollen die Mengen graphisch darstellen(kein Problem), und begründen ob sie kompakt sind. Ich weiß das kompakte Mengen abgeschlossen und beschränkt sein müssen. Aber es reicht ja nicht wenn ich hinschreibe die Menge ist kompakt, weil sie beschränkt und abgeschlossen ist. Wie kann ich die beschränktheit und Abgeschlossenheit zeigen am Beispiel der Menge A1.
Dann habe ich noch eine Frage zu folgender Menge:
[mm] A4=\{(x_1,x_2)|x_2=(x_1)^2\} [/mm] geschnitten [mm] {(x_1,x_2); (x_1)^2+(x_2)^2<1}
[/mm]
Wie kann ich da bestimmen was da für Elemente drin sind. Bzw. interessiert mich wie groß [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] maximal werden können.
Gruß
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Hallo!
Also ich versuche mich gerade nur mal an deiner zweiten Frage...
> Dann habe ich noch eine Frage zu folgender Menge:
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> [mm]A4=\{(x_1,x_2)|x_2=(x_1)^2\}[/mm] geschnitten [mm]{(x_1,x_2); (x_1)^2+(x_2)^2<1}[/mm]
>
> Wie kann ich da bestimmen was da für Elemente drin sind.
> Bzw. interessiert mich wie groß [mm]x_2[/mm] und [mm]x_1[/mm] maximal werden
> können.
Im Schnitt liegen ja genau die Elemente, die in beiden Mengen liegen, also müssen beide "Beschreibungen" der Mengen gelten. Nämlich [mm] x_2=x_1^2 [/mm] und [mm] x_1^2+x_2^2<1. [/mm] Nun kannst du dir alle Elemente der ersten Menge aufschreiben, also z. B. (1,1),(2,4),(3,9),(4,16),... (von welchen Zahlen gehst du denn aus - natürliche Zahlen? Ansonsten kämen natürlich noch negative und alle möglichen anderen rationalen und allgemein reelle Zahlen hinzu). Und dann könntest du gucken, für welche dieser Elemente die Bedingung [mm] x_1^2+x_2^2<1 [/mm] gilt. Oder du fängst mit der zweiten Bedingung an und setzt dort die erste ein, dann erhältst du [mm] x_1^2+x_2^2=x_1^2+(x_1^2)^2=x_1^2+x_1^4<1 [/mm] und guckst, welche Elemente dort drin liegen.
Das ist ein bisschen Rumprobiererei (<- cooles Wort, oder?  ), aber ich weiß nicht, ob es da eine bessere Methode gibt...
Ach ja, du könntest natürlich auch beide Mengen zeichnen und dann gucken, welche Elemente im Schnitt liegen.
Ach ja, ich würde sagen, maximal können [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] natürlich nur echt kleiner 1 sein.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
ich möchte kurz etwas zu deiner ersten Frage sagen:
Deine Argumentation ist völlig richtig:
Eine Teilmenge [mm] $A\subset\IR^{n}$ [/mm] ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist (Satz von Heine-Borel).
Du möchtest jetzt aber noch genauer begründen, warum
[mm]A=\left\{ \left. \vektor{(-1)^{n} \\ (-1)^{k}} \right| n,k \in \IN \right\} \subset \IR^{2}[/mm]
beschränkt und abgeschlossen ist.
Die Beschränktheit ist ganz einfach zu zeigen, schließlich liegen alle Punkte von $A$ in der Kreisscheibe [mm] $\{x\in\IR^{2} : |x |\le\sqrt{2}\}$ [/mm] (und das ist für die vier Punkte ja schnell gezeigt!).
Abgeschlossen ist die Menge, weil sie nur aus Randpunkten besteht, d.h. für jedes [mm] $x\in [/mm] A$ gilt: In jeder Umgebung von $x$ liegt sowohl ein Punkt von $A$ als auch von [mm] $\IR^{2} \quad \backslash \quad [/mm] A$.
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter! Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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