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Ich habe einen gegebenen Punkt T (zb (7,5,3) )in [mm] R^3 [/mm] und möchte nun die Menge aller Geraden haben, die durch den Punkt T gehen. Wie stell ich das an? Ich hab überhaupt keine Ahnung! Den einzigen Ansatz, den ich hab ist: Die gerade (X1,X2,X3)+a(Y1,Y2,Y3) mit dem Punkt (7,5,3) gleichsetzen.
Aber da bekomm ich nur a(Y1,Y2,Y3)=(7-X1,5-X2,3-X3) raus und häng auch wieder fest.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Matze!
> Ich habe einen gegebenen Punkt T (zb (7,5,3) )in [mm]R^3[/mm] und
> möchte nun die Menge aller Geraden haben, die durch den
> Punkt T gehen. Wie stell ich das an? Ich hab überhaupt
> keine Ahnung! Den einzigen Ansatz, den ich hab ist: Die
> gerade (X1,X2,X3)+a(Y1,Y2,Y3) mit dem Punkt (7,5,3)
> gleichsetzen.
> Aber da bekomm ich nur a(Y1,Y2,Y3)=(7-X1,5-X2,3-X3) raus
> und häng auch wieder fest.
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dein Ansatz ist doch schon recht gut. Stellt man sich den Punkt T als allgemeinen Punkt [mm] T\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] dar und einen anderen Punkt der Gerade g durch [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} [/mm] so kann die Gerade g in allgemeiner Form wie folgt dargestellt werden:
[mm]g: \overrightarrow{x}=\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}+a*\vektor{x_{2}-x_{1} \\ y_{2}-y_{1} \\ z_{2}-z_{1}}[/mm]
Wenn dein Punkt T nun die Koordinaten [mm] \vektor{7 \\ 5 \\ 3} [/mm] hat so ergibt sich die Menge der Geraden, welche durch den Punkt T verlaufen zu:
[mm]g: \overrightarrow{x}=\vektor{7 \\ 5 \\ 3}+a*\vektor{x_{2}-7 \\ y_{2}-5 \\ z_{2}-3}[/mm]
Hierbei sind [mm] x_2, y_2 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] die Koordinaten eines zweiten Punktes der Gerade. Es sollte klar sein, daß die Anzahl der Geraden, welche im [mm] R^{3} [/mm] durch den Punkt T verlaufen, unendlich ist, sofern der die Koordinaten [mm] x_2, y_2 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] des zweiten Punktes nicht denen des Punktes T entsprechen.
Gruß,
Tommy
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Hi Tommy.
Vielen Dank für deine Info.
Funktioniert das eigentlich auch mit der Menge aller Ebenen durch Punkt T?
Müsste ich dann nur den Punkt T [mm] \vektor{7 \\ 5 \\3} [/mm] in die Ebenengleichung [mm] ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=d [/mm] einsetzen?
Vielen dank schonmal, Matze
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> Hi Tommy.
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> Vielen Dank für deine Info.
> Funktioniert das eigentlich auch mit der Menge aller
> Ebenen durch Punkt T?
> Müsste ich dann nur den Punkt T [mm]\vektor{7 \\ 5 \\3}[/mm] in die
> Ebenengleichung [mm]ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=d[/mm] einsetzen?
>
> Vielen dank schonmal, Matze
Nun, wenn du den Punkt T in diese Form der Ebene (Koordinatenform) einsetzt, so kannst du damit lediglich prüfen, ob der Punkt T zur Ebene gehört (was er ja laut Aufgabentellung auch soll). Du würdest dadurch also lediglich etwas überprüfen, was eh schon als gegeben vorausgesetzt wurde.
Besser ist folgende Alternative:
Eine Ebene imRaum unterscheidet sich von einer Geraden im Raum lediglich dadurch, daß die Ebene zwei Richtungsvektoren und die Gerade nur einen Richtungsvektor besitzt. Um eine Gerade im Raum darstellen zu können benötigt man mindestens zwei Punkte dieser Geraden (siehe vorheriges posting).
Um eine Ebene im Raum - in Parameterform - darstellen zu können benötigt man nun mindestens 3 Punkte dieser Ebene. Davon dient der Ortsvektor eines Punktes (z.b. (7;5;3)) als Stützvektor der Ebene und die Vektoren, die von diesem Stützvektor auf die anderen beiden Punkte zeigen dienen als Richtungsvektoren. Seien zwei weitere Punkte der Ebene gegeben durch [mm] (x_2; y_2; z_2) [/mm] und [mm] (x_3; y_3; z_3) [/mm] dann lautet die Parameterform der Ebene mit dem Stützvektor [mm] \vektor{7 \\ 5 \\ 3} [/mm] wie folgt:
E: [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{7 \\ 5 \\ 3}+a*\vektor{x_{2}-7 \\ y_{2}-5 \\ z_{2}-3}+b*\vektor{x_{3}-7 \\ y_{3}-5 \\ z_{3}-3}
[/mm]
Natürlich dürfen auch hier nur unterschiedliche Punkt verwendet werden. Weiterhin sollten die Punkt nicht auf einer Geraden liegen, da dann keine Ebene dargestellt werden kann.
Gruß,
Tommy
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