Menge Kompl. Zahlen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Bestimmen und skizzieren Sie die Menge:
M:= { z [mm] \in \IC\setminus [/mm] {0} : [mm] max(Re(\bruch{1}{z})*|z|^{2}, -Im(\bruch{1}{z})*|z|^{2}) \le [/mm] 1 } |
Hallo,
also zunächst hab ich z:= a+bi gesetzt mit a,b [mm] \in \IR\setminus [/mm] {0}, i [mm] \in \IC,
[/mm]
[mm] \Rightarrow max(Re(\bruch{1}{z})*|z|^{2}, -Im(\bruch{1}{z})*|z|^{2})= max(\bruch{1}{a}*(a^{2}+b^{2}), -\bruch{1}{b}*(a^{2}+b^{2}))= [/mm] max [mm] (a+\bruch{b^{2}}{a}, -\bruch{a^{2}}{b} [/mm] -b) [mm] \le [/mm] 1, und an der Stelle weiß ich nun nich mehr wie ich weitermachen soll. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Viele Grüße
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Hallo!
Achtung! Für $z = a+b*i$ gilt nicht: [mm] $Re\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}$ [/mm] !
Du musst folgendermaßen vorgehen:
[mm] $Re\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] = [mm] Re\left(\bruch{1}{a+b*i}\right) [/mm] = [mm] Re\left(\bruch{1}{a+b*i}*\bruch{a-b*i}{a-b*i}\right) [/mm] = [mm] Re\left(\bruch{a-b*i}{a^{2}+b^{2}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{a}{a^{2}+b^{2}}$
[/mm]
Analog erhält man
[mm] $Im\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] = [mm] \bruch{-b}{a^{2}+b^{2}}$
[/mm]
Damit kürzt sich in deiner Menge einiges raus und es dürfte nun ein Leichtes für dich sein, die Menge zu bestimmen 
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank,
also dürfte die Menge wohl so aussehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Sorry mein Fehler, hab eben übersehen, dass vor Im [mm] (\bruch{1}{z}) [/mm] noch ein Minus steht
Hab den Fehler jetz korrigiert, und hoffe, dass es so stimmt
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Hallo!
Ja, das ist richtig, weil die letztendliche Menge nach Vereinfachen
[mm] $\left\{(x+i*y)\in\IC\backslash\{0\}|max(x,y)\le 1\right\}$
[/mm]
ist. Vergiss aber nicht, bei deiner Skizze (0,0) deutlich auszuschließen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Nur noch eine abschließende Frage:
Nach dem, was du hier geantwortet hast, müsste gelten:
[mm] Re(|z|^{2})= Im(|z|^{2})=|z|^{2}, [/mm] aber wieso? Ich kann mirs leider nich herleiten...
Viele Grüße
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Hallo!
> Nur noch eine abschließende Frage:
> Nach dem, was du hier geantwortet hast, müsste gelten:
> [mm]Re(|z|^{2})= Im(|z|^{2})=|z|^{2},[/mm] aber wieso? Ich kann
> mirs leider nich herleiten...
Das stimmt auch nicht und das habe ich meines Wissens nach nirgendwo hergeleitet. Es ist [mm] $|z|^{2}\in\IR$, [/mm] also
[mm] $Re(|z|^{2}) [/mm] = [mm] |z|^{2}$
[/mm]
[mm] $Im(|z|^{2})=0$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Aber es ist doch: [mm] Im(\bruch{1}{z})= Im(\bruch{\overline{z}}{|z|^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{-b}{|z|^{2}}, [/mm] das verwirrt mich nun etwas, dass sich [mm] |z|^{2} [/mm] einfach überträgt, obwohl [mm] Im(|z|^{2})=0 [/mm] sein soll?
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Hallo!
Es ist doch dasselbe Prinzip wie beim Ableiten:
Wenn ich
f(x) = 5*x + 3
habe und nun ableiten, fällt die 3 als Konstante weg, weil kein x dran steht, die 5 hingegen bleibt, weil ein x als Faktor dabei war:
f'(x) = 5
Genauso verhält es sich beim Imaginärteil: [mm] |z|^{2} [/mm] würde eigentlich beim Imaginärteil bestimmen wegfallen, da es nicht auf der imaginären Achse liegt. Aber in diesem speziellen Fall ist es doch ein Faktor von etwas, was nicht wegfällt: dem i:
[mm] $Im\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] = [mm] Im\left(\bruch{1}{x+i*y}\right) [/mm] = [mm] Im\left(\bruch{x-i*y}{x^{2}+y^{2}}\right) [/mm] = [mm] Im\left(\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} + \bruch{-y}{x^{2}+y^{2}}*i\right)$
[/mm]
Siehst du? [mm] $|z|^{2} [/mm] = [mm] x^{2}+y^{2}$ [/mm] ist doch nur Teil des Vorfaktors von i, deswegen "überlebt" es die Imaginärteil-Bildung. Stände es als alleiniger Summand ohne i als Faktor, z.B. so:
[mm] $Im(|z|^{2}+i)$
[/mm]
würde es wegfallen:
[mm] $Im(|z|^{2}+i) [/mm] = 1$
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
ah, vielen Dank, da hab ich den Wald vor lauter Bäumen wohl nich gesehen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Fr 05.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> also zunächst hab ich z:= a+bi gesetzt mit a,b [mm]\in \IR\setminus[/mm]
> {0}, i [mm]\in \IC,[/mm]
> [mm]\Rightarrow max(Re(\bruch{1}{z})*|z|^{2}, -Im(\bruch{1}{z})*|z|^{2})= max(\bruch{1}{a}*(a^{2}+b^{2}), -\bruch{1}{b}*(a^{2}+b^{2}))=[/mm]
> max [mm](a+\bruch{b^{2}}{a}, -\bruch{a^{2}}{b}[/mm] -b) [mm]\le[/mm] 1, und
> an der Stelle weiß ich nun nich mehr wie ich weitermachen
> soll. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Hallo,
Trigonometrisch geht es einfacher.
Mit [mm] z=r(cos\phi [/mm] + i [mm] sin\phi) [/mm] gilt
[mm] 1/z=(1/r)(cos(-\phi) [/mm] + i [mm] sin(-\phi)) [/mm]
[mm] 1/z*|z^2|=r(cos(-\phi) [/mm] + i [mm] sin(-\phi))
[/mm]
[mm] Re(1/z*|z^2|)=r cos(-\phi)=r cos(\phi)
[/mm]
[mm] -Im(1/z*|z^2|)= [/mm] -r [mm] sin(-\phi)=r sin(\phi)
[/mm]
Der größere der beiden Werte (und damit beide Werte) sollen [mm] \le [/mm] 1 sein.
Das sind alle Punkte links von und unterhalb von 1+i mit Ausnahme von (0,0).
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße
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