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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 09.02.2010 | | Autor: | Mofdes |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Trägheitsmoment [mm] \integral_{V}{x^2+y^2 dV} [/mm] der z-Achse für das Ellipsoid [mm] (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1. [/mm] (Hinweis: Verwenden Sie die Reduzierten Variablen x/a, y/b, z/c.) |
Unter Verwendung der reduzierten Variablen x' etc. wird wie folgt integriert:
[mm] \integral_{V}{[(ax')^2+(by')^2] abc dx'dy'dz'}
[/mm]
Nun sollten wohl noch die Kugelkoordinaten ins Spiel gebracht werden.
Leider weiß ich nicht wie die Aufgabe weiter zu lösen ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mofdes,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie das Trägheitsmoment [mm]\integral_{V}{x^2+y^2 dV}[/mm]
> der z-Achse für das Ellipsoid [mm](x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1.[/mm]
> (Hinweis: Verwenden Sie die Reduzierten Variablen x/a, y/b,
> z/c.)
> Unter Verwendung der reduzierten Variablen x' etc. wird
> wie folgt integriert:
> [mm]\integral_{V}{[(ax')^2+(by')^2] abc dx'dy'dz'}[/mm]
> Nun
> sollten wohl noch die Kugelkoordinaten ins Spiel gebracht
> werden.
Nun die Parameterdarstellung der Kugel mit Radius r lautet:
[mm]\pmat{u \\ v \\ w}=\pmat{r*\cos\left(\theta\right)*\cos\left(\varphi\right) \\ r*\cos\left(\theta\right)*\sin\left(\varphi\right) \\ r*\sin\left(\theta\right)}[/mm]
Dann musst noch die Determinante der Matrix
[mm]J=\bruch{\partial \left(u,v,w\right)}{\partial \left(r,\theta,\varphi\right)}=\pmat{\bruch{\partial u}{\partial r} & \bruch{\partial v}{\partial r} & \bruch{\partial w}{\partial r} \\ \bruch{\partial u}{\partial \theta} & \bruch{\partial v}{\partial \theta} & \bruch{\partial w}{\partial \theta} \\ \bruch{\partial u}{\partial \varphi} & \bruch{\partial v}{\partial \varphi} & \bruch{\partial w}{\partial \varphi}}[/mm]
berechnen.
Dann lautet das Integral:
[mm]\integral_{V}{[(\ ax'\left(r,\theta,\varphi\right) \)^2+( \ by'\left(r,\theta,\varphi\right) \ )^2] abc \ \operatorname{det}\left(J\right) \ dr \ d\theta \ d\varphi}[/mm]
> Leider weiß ich nicht wie die Aufgabe weiter zu lösen
> ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 09.02.2010 | | Autor: | Mofdes |
Vielen Dank für die Antwort. Leider hatte ich noch keine Matrizen im Unterricht und weiß deshalb nicht damit umzugehen.
Geht das nicht auch anders?
Das einzige, das ich weiß ist, dass beim Umrechnen in Kugelkoordinaten folgendes gilt:
[mm] dxdydz=r^2sin(\theta)d{\theta}d{\phi}dr
[/mm]
[mm] x=rsin(\theta)cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=rsin(\theta)sin(\phi)
[/mm]
[mm] z=rcos(\theta)
[/mm]
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Hallo Mofdes,
> Vielen Dank für die Antwort. Leider hatte ich noch keine
> Matrizen im Unterricht und weiß deshalb nicht damit
> umzugehen.
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> Geht das nicht auch anders?
>
> Das einzige, das ich weiß ist, dass beim Umrechnen in
> Kugelkoordinaten folgendes gilt:
> [mm]dxdydz=r^2sin(\theta)d{\theta}d{\phi}dr[/mm]
> [mm]x=rsin(\theta)cos(\phi)[/mm]
> [mm]y=rsin(\theta)sin(\phi)[/mm]
> [mm]z=rcos(\theta)[/mm]
Das kannst Du dann stattdessen verwenden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 09.02.2010 | | Autor: | Mofdes |
Ah okay, entschuldige wenn ich so doof frage.
Sind dann die Integrationsgrenzen:
[mm] 0\le{r}\le1
[/mm]
[mm] 0\le\phi\le2{\pi}
[/mm]
[mm] 0\le\theta\le\pi
[/mm]
?
Oder wie muss ich die wählen?
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Hallo Mofdes,
> Ah okay, entschuldige wenn ich so doof frage.
> Sind dann die Integrationsgrenzen:
> [mm]0\le{r}\le1[/mm]
> [mm]0\le\phi\le2{\pi}[/mm]
> [mm]0\le\theta\le\pi[/mm]
> ?
> Oder wie muss ich die wählen?
So, wie Du sie aufgeschrieben hast.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Di 09.02.2010 | | Autor: | Mofdes |
Als Lösung habe ich folgenden Ausdruck herausbekommen:
[mm] (4/15)a^3bc{\pi}+(4/15)ab^3c{\pi}
[/mm]
Dies nachzurechnen wäre wohl zu viel verlangt. Ich danke vielmals für die Hilfe!
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