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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Arkaine |
| Aufgabe | Betrachtet wird die Funktion [mm] z(x,y)=(y^2+py+q)x^2-2x+a
[/mm]
a) Für welche Werte von p,q und a hat ihr stationärer Punkt(Sattelpunkt) die Koordinaten Pstat(x=1|y=2|z=3)?
b) Ist es ein Extrempunkt? Wenn ja, welchen Charakter hat er? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi,
ich komme bei der obigen aufgabe nicht weiter.
ich muss die funktion wohl zweimal nach x und y ableiten und die entsprechenden punkte einsetzen, um dann am ende drei gleichungen mit drei unbekanten zu erhalten, aber sicher bin ich mir nicht.
hat jemand einen vorschlag?
danke im vorraus.
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Hallo
Du musst nur einmal nach x und einmal nach y ableiten und diese 2 gleichungen null setzen (stationärer Punkt). Die 2. Ableitungen (Hessematrix!) geben Auskunft über Art des stationären Punktes. Aber beachte es sind 4 Stück 2. Ableitungen: 2 mal nach x, 2 mal nach y und zuerst nch x, dann nach y und umgekehrt.
Gruß Korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Arkaine |
hi,
danke für die schnelle antwort!
(stationärer punkt > erste ableitung = 0, da keine steigung in dem punkt)
ich bin deinem rat gefolgt und habe für die koeffizienten
p = -4
q = 5
a = 4
herausbekommen. scheint auch zu stimmen.
aber bei der charakerfrage bin ich jetzt doch ein wenig überfragt.
die hesseform kenne ich nur vom namen her und die wurde auch nie weiter im unterricht behandelt.
gibt es eine andere möglichkeit b) in angriff zu nehmen?
ich muss die vier gleichungen zxx,zyy, zxy und zyx ja in irgendeine beziehung setzen können.
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> hi,
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> danke für die schnelle antwort!
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> (stationärer punkt > erste ableitung = 0, da keine steigung
> in dem punkt)
> ich bin deinem rat gefolgt und habe für die koeffizienten
> p = -4
> q = 5
> a = 4
>
> herausbekommen. scheint auch zu stimmen.
> aber bei der charakerfrage bin ich jetzt doch ein wenig
> überfragt.
> die hesseform kenne ich nur vom namen her und die wurde
> auch nie weiter im unterricht behandelt.
>
> gibt es eine andere möglichkeit b) in angriff zu nehmen?
> ich muss die vier gleichungen zxx,zyy, zxy und zyx ja in
> irgendeine beziehung setzen können.
Du kennst nun die Werte der Formparameter $p,q,a$. Daher kannst Du die Matrix der zweiten Ableitungen von $z$ an dieser Stelle $x=1,y=2$ berechnen. Hast Du dies gemacht, gibt es verschiedene Wege, das positiv-definit, negativ-definit oder indefinit-sein dieser quadratischen Form (der zweiten Ableitung von $z(x,y)$ an der Stelle $x=1,y=2$) zu bestimmen.
Der intuitiv vielleicht offensichtlichste Weg geht über die Eigenwerte dieser Matrix der zweiten partiellen Ableitungen von $z$. Hat sie zwei positive Eigenwerte, so liegt bei $x=1,y=2$ ein Tiefpunkt vor; hat sie zwei negative Eigenwerte, so liegt ein Hochpunkt vor, hat sie Eigenwerte mit verschiedenem Vorzeichen, so liegt kein Extrempunkt sondern lediglich ein Sattelpunkt vor.
Ist aber einer der Eigenwerte dieser Matrix $=0$ so kann der Charakter des Punktes $(1,2,3)$ nicht mit Hilfe der zweiten Ableitung beurteilt werden. Es müssten in diesem Falle noch höhere Ableitungen von $z$ untersucht werden.
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Hallo
mit etwas tricksen geht es (hier) auch ohne Hessematrix:
z(x,y)=(y2-4y+5)x2-2x+4=((y2-4y+4)+1)x2-2x+4=(y-2)2x2+x2-2x+4=(y-2)2x2+(x-1)2+3≥3 für alle x,y
Also liegt bei (1;2) mit z(1;2)=3 ein relatives Minimum vor
Gruß Korbinian
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> Betrachtet wird die Funktion [mm]z(x,y)=(y^2+py+q)x^2-2x+a[/mm]
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> a) Für welche Werte von p,q und a hat ihr stationärer
> Punkt(Sattelpunkt) die Koordinaten Pstat(x=1|y=2|z=3)?
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> b) Ist es ein Extrempunkt? Wenn ja, welchen Charakter hat
> er?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hi,
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> ich komme bei der obigen aufgabe nicht weiter.
> ich muss die funktion wohl zweimal nach x und y ableiten
Nein, ein stationärer Punkt einer [mm] $\IR^n\rightarrow \IR$ [/mm] Funktion ist ein Punkt, bei dem der Gradient der Funktion der Nullvektor wird. In Deinem Spezialfall müssen die ersten partiellen Ableitungen an der Stelle $x=1, y=2$ beide gleich $0$ sein (gibt zwei Gleichungen), und dann muss zusätzlich noch der Funktionswert an dieser Stelle gleich $3$ sein: also $z(1,2)=3$ gelten (gibt dritte Gleichung). Erst wenn Du aus diesen drei Gleichungen die Werte der Formparameter $p,q$ und $a$ bestimmt hast, kannst Du Dich daran machen, durch Untersuchen der Matrix der zweiten partiellen Ableitungen über das Vorliegen einer Extremstelle oder eines Sattelpunktes Auskunft zu geben.
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