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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Do 14.09.2006 | | Autor: | Daeda |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^3 [/mm] ist das Vektorfeld
[mm] \vec [/mm] v (x,y,z) := [mm] \vektor{x-z \\ x^2+yz\\-3+y^2} [/mm] gegeben
Berechnen sie das Flußintegral
[mm]\integral_{F1}^{}{\vec v * \vec N_{0,1}dF}[/mm]
mit der Fläche [mm] F1={(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2 \le 4 ,z=0} [/mm]
Hierbei ist [mm]\vec N_{0,1}[/mm] der Normaleneinheitsvektor auf F1 der eine positive z-Komponente besitzt
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So das führt zu folgendem Integral
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec v (r*cos \varphi,r*sin \varphi, 0) * \vektor{0\\ 0 \\ 1}rd \varphi dr}} [/mm]
Wie ich das ausrechne ist mir klar, meine Frage ist aber:
Woher weiss ich die Reihenfolge nach der integriert wird?
also [mm] rd\varphi dr [/mm] oder [mm] dr d\varphi [/mm]
Und wann kommt das r noch vor dr?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Erstmal:
Die Reihenfolge ist normalerweise egal.
Klar, es gibt pathologische Funktionen, denen das nicht egal ist, aber dazu kann evtl ein anderer was schreiben.
Aber insbesondere hier kannst du ja so aufspalten:
[mm] $\integral\integral f(r)*g(\phi)*rdrd\phi=\left(\integral f(r)*rdr\right) *\left(\integral g(\phi)*d\phi\right)$
[/mm]
Nicht egal ist es ansonsten , wenn die Grenzen des einen Integrals von der Integrationsvariablen des anderen abhängen, aber da kann man normalerweise die Grenzen umschreiben, sodaß es wieder geht.
Jetzt zu dem zusätzlichen r:
Das Integral summiert ja quasi winzige Flächenstücke $dA=dxdy$. Bildest du das Integral von dxdy über die Grenzen einer Figur, erhälst du den Flächeninhalt der Figur. Das sollte sich auch dann nicht ändern, wenn du andere Koordinaten nimmst.
Nun schau dir aber mal die Polarkoordinaten an: [mm] $drd\phi$ [/mm] ist nicht immer gleich groß! Mit wachsendem r (nicht dr!) wird auch so ein Flächenstück größer. Beispiel: Schau dir ne Zwiebelscheibe an, aus der zu einen kleinen Sektor herausschneidest. Die STücke, die du von den größeren Zwiebelringen bekommst, sind größer als die inneren. Und zwar um den Faktor r. Deshalb kommt der auch noch rein.
Hier nur ein Kochrezept für sowas:
Schreibe hin, wie x,y,z durch die neuen Koordinaten ausgedrückt werden:
x=...
y=...
z=...
Bilde davon die Jacobimatrix
Die Jacobimatrix gibt dir mit ihren Spaltenvektoren an, in welche Richtung du wie weit gehst, wenn du z.B. einen Schritt [mm] $d\phi$ [/mm] machst.
Der Betrag der Determinante dieser Matrix gibt dir an, welches Volumen die drei Spaltenvektoren einschließen.
Diesen Betrag mußt du zusätzlich in dein Integral einbauen!
In Polar-/Zylinderkoordinaten ist der Betrag einfach r
In Kugelkoordinaten kommt sowas wie [mm] $\sin\thetar^2$ [/mm] heraus. (ZUmindest in der Physik, in der Mathematik nimmt man anscheinend andere Konventionen, wie die Winkel liegen, da istst dann ein cos)
Das ist alles.
Übrigens: dxdy hat als Einheit eine Fläche, aber [mm] $drd\phi$ [/mm] ist ne Längeneinheit, das wird durch das zusätzliche r auch wieder grade gebügelt.
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