Maximum einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wiggle |
| Aufgabe | Das ist KEINE Lehrbuchaufgabe, ich untersuche das i.R. meiner Hausarbeit, es gibt daher keine Patent-lösung oder Garantie auf eine schöne Lösung:
Maximiere die Funktion $W$ über $Y$ und $P$, dabei gilt [mm] $0
[mm] $W=-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{PY}{2}+\frac{cm}{2}-\frac{cnP}{2}-\frac{m^{2}}{4n}+\frac{nP^{2}}{4}$
[/mm]
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Ich möchte diese Funktion algebraisch Lösen, habe also keine konkrete Werte für $c,n,m$ !!!
Was ich bis jetzt gemacht habe:
Stationären Punkt gesucht, also jeweils nach $Y$ und $P$ abgeleitet, dann $=0$ gesetzt, dann $2$ Gleichungen $2$ Variablen, hier eindeutig lösbar mit
[mm] $Y^{\star}=\frac{m-cn}{4n+1}$ [/mm]
und
[mm] P^{\star}=\frac{2cn\left(2n+1\right)-m}{n\left(4n+1\right)}
[/mm]
Die Hesse Matrix für Bed. 2 Ordnung ist für die gesamte Funktion (und nicht nur für diesen Punkt) :
Hesse Matrix [mm] $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
-2 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{n}{2}\end{array}\right)$ [/mm]
Das ist nicht gut, da sie eindeutig zeigt, dass hier ein Sattelpunkt vorliegt (hab ich auch schon in diesem Forum erfragt, stimmt!)
Wenn ich diesen Punkt [mm] $(Y^{\star},P^{\star})$ [/mm] in die Funktion einsetze, dann kommt was negatives für $W$ raus, was auch nicht sein kann und darf! [mm] $\left(W=-\frac{\left(c\cdot n-m^{2}\right)}{4n+1}\right)$
[/mm]
Was nun?
Man sieht an der Funktion, dass sie für steigendes $P$ immer größer wird, da [mm] $+P^2$ [/mm] als Term vorkommt!
Ebenfalls sieht man, dass hier für steigendes $Y$ die Funktion abnimmt!
(sieht man ja auch in der Hesse Matrix, 2. Abl. nach $Y$ ist $-2$ und 2.Ableitung nach $P$ ist [mm] $\frac{n}{2}$.
[/mm]
Jetzt Frage ich mich, ob man diverse Randpunkte "ausprobieren" kann, z.B. würde ich jetzt [mm] $P=\frac{m}{n}$ [/mm] nehmen (eigentlich habe ich ja gefordert, dass [mm] $P<\frac{m}{n}$!!!) [/mm] und dann $Y$ gemäß der ersten Ableitung der Ausgangsfunktion nach $Y$ auswählen , die ja noch von $P$ abhängt!
Dann bekomme ich
[mm] $W=\frac{\left(cn-m\right)^{2}}{4n^{2}}$
[/mm]
Das ist mit Sicherheit positiv, aber ich habe den Punkt für $P$ eingesetzt, den ich eigentlich verboten habe!
Kann ich sagen, dass die Funktion in $P$ eindeutig ansteigt und deshalb die Rand-Lösung "marginal neben" [mm] $P=\frac{m}{n}$ [/mm] als Optimum betrachtet wird?
Mathematisch bestimmt nicht ganz sauber...
Aber es gibt noch einige andere Randpunkte, die man ausprobieren könnte...
Kann ich einfach alle Randpunkte, die ich ja eigentlich nicht zugelassen habe, einsetzen und dann jeden Randpunkt in die Ausgangsfunktion einsetzen und dann sehen, wie groß das $W$ ist, was da rauskommt?
Wenn ja, wie rechne ich mit den Randpunkten?
Nehme ich den Randpunkt einer Variablen (z.B. $Y=0$) und suche mir die andere Variable mithilfe der 1. Ableitung, also $Y=0$ in [mm] $\frac{\partial W}{\partial P}$ [/mm] einsetzen ?
Oder nehme ich ein anderes $P$, wenn ja welches?
Das Problem liegt glaube ich in der Tatsache, dass ich hier so tue, dass die Punkte zulässig sind und dann die Werte für $W$ ausrechne und dann sage, dass ich die Punkte "marginal" neben diesen Punkten betrachte!
Danke für Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 25.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Warum ist W(P^*,Y^*) negativ? das kommt doch auf das Vorzeichen von [mm] cn-m^2 [/mm] an?
2. natuerlich gibt es viele ffunktionen, die ihr Max auf dem Rand annehmen, egal ob der Rand dazugehoert oder nicht.
das heisst dann einfach dass sie nur ein supremum haben, aber das max im Def. Gebiet ncht erreichen.
Du kannst dann nur sagen, je naeher an m/n P liegt, desto groesser W. entsprechend die anderen Randpunkte (eigentlich sind es ja Kurven und keine Punkte.
Andererseits hast du ja mit W=z, Y=y P=x
eine Quadrik im Raum, du kannst durch Transformation fesstellen was es ist, und dann direkt sehen, ob und wo da z maximal ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Zu 1. :
Entschuldigung, es heißt
[mm] $W(P^{\star},Y^{\star})=-\frac{\left(c\cdot n-m\right)^{2}}{4n+1}$
[/mm]
Zu 2.:
Also je näher $P$ an [mm] $\frac{m}{n}$ [/mm] liegt, desto größer der Funktionswert, logisch!
Je näher $Y$ bei $0$ liegt, desto größer ist der Funktionswert, kann man das sagen? Gibt es hier nicht ein optimales $Y$ ?
Wie geht die Methode mit der Quadrik und dem Transformieren? Ich höre den Ausdruck Quadrik zum 1. Mal!
Wo ist die Methode für nicht Mathe Studis beschrieben??
Danke für Hilfe!
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Hallo wiggle,
> Zu 1. :
> Entschuldigung, es heißt
>
> [mm]W(P^{\star},Y^{\star})=-\frac{\left(c\cdot n-m\right)^{2}}{4n+1}[/mm]
>
> Zu 2.:
> Also je näher [mm]P[/mm] an [mm]\frac{m}{n}[/mm] liegt, desto größer der
> Funktionswert, logisch!
>
> Je näher [mm]Y[/mm] bei [mm]0[/mm] liegt, desto größer ist der
> Funktionswert, kann man das sagen? Gibt es hier nicht ein
> optimales [mm]Y[/mm] ?
>
> Wie geht die Methode mit der Quadrik und dem
> Transformieren? Ich höre den Ausdruck Quadrik zum 1. Mal!
Nun, eine ![[]](/images/popup.gif) Quadrik ist eine
Gleichung zweiten Grades hier in den Variablen P,Y.
>
> Wo ist die Methode für nicht Mathe Studis beschrieben??
Um auf die Darstellung der Summe/Differenz von zwei Quadraten
zu kommen, benötigst Du die quadratische Ergänzung.
Ziel ist es zunächst einmal, alle gemischtquadratischen Glieder, (hier: [mm]\bruch{PY}{2}[/mm]) zu eliminieren.
Dazu machst Du den Ansatz
[mm]-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{PY}{2}+\frac{cm}{2}-\frac{cnP}{2}-\frac{m^{2}}{4n}+\frac{nP^{2}}{4}[/mm]
[mm]=\left(\alpha*P+\beta*Y+\gamma\right)^{2}-\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{cm}{2}-\frac{m^{2}}{4n}[/mm]
Mit dem Ausdruck [mm]-\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{cm}{2}-\frac{m^{2}}{4n}[/mm]
verfährst Du dann genauso.
[mm]-\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{cm}{2}-\frac{m^{2}}{4n}=-\left(\delta*Y+\varepsilon\right)^{2}+\varepsilon^{2}+\frac{cm}{2}-\frac{m^{2}}{4n}[/mm]
>
> Danke für Hilfe!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 So 26.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Sorry ich muss nochmal fragen:
Ich kriege es leider absolut nicht hin, dass das $P$ in einem quadratischen Term steht und das $Y$ im anderen quadratischen Term, ohne dass die beiden größen als Produkt auftauchen, so dass ich dann das Maximum der Funktion erkennen könnte !
Kann mir mal wieder jemand helfen?
Danke!
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Hallo wiggle,
> Sorry ich muss nochmal fragen:
>
> Ich kriege es leider absolut nicht hin, dass das [mm]P[/mm] in einem
> quadratischen Term steht und das [mm]Y[/mm] im anderen quadratischen
> Term, ohne dass die beiden größen als Produkt auftauchen,
> so dass ich dann das Maximum der Funktion erkennen könnte
> !
>
> Kann mir mal wieder jemand helfen?
Poste doch mal Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Danke!
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 26.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Ich lasse im folgenden $0,5cm$ und [mm] $-\frac{m^2}{4n}$ [/mm] weg, da die beiden nicht relvant sind!
Neue Ausgangsformel:
$ [mm] -Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{PY}{2}-\frac{cnP}{2}+\frac{nP^{2}}{4} [/mm] $
$ [mm] =\left(\alpha\cdot{}P+\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n} [/mm] $
[mm] $=\alpha^2P^2+2{\alpha}{P}{\beta}Y+2{\alpha}{P}{\gamma}+\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n} [/mm] $
Hm, ok damit ist
[mm] $\alpha=\frac{1}{2}n^{0,5}$ [/mm] und [mm] $\beta=\frac{1}{4}\alpha^{-1}=\frac{1}{2}n^{-0,5}$ [/mm] und [mm] $\gamma=\frac{1}{4}cn\alpha^{-1}=\frac{1}{2}cn^{0,5}$
[/mm]
Genauso würde ich den Term
$ [mm] -\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n} [/mm] $
behandeln..
Das ist aber doch irgendwie Käse, da das $PY$ nicht verschwindet...
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Hallo wiggle,
> Ich lasse im folgenden [mm]0,5cm[/mm] und [mm]-\frac{m^2}{4n}[/mm] weg, da
> die beiden nicht relvant sind!
>
> Neue Ausgangsformel:
>
> [mm]-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}+\frac{PY}{2}-\frac{cnP}{2}+\frac{nP^{2}}{4}[/mm]
>
> [mm]=\left(\alpha\cdot{}P+\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
>
> [mm]=\alpha^2P^2+2{\alpha}{P}{\beta}Y+2{\alpha}{P}{\gamma}+\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
>
> Hm, ok damit ist
>
> [mm]\alpha=\frac{1}{2}n^{0,5}[/mm] und
> [mm]\beta=\frac{1}{4}\alpha^{-1}=\frac{1}{2}n^{-0,5}[/mm] und
> [mm]\gamma=\frac{1}{4}cn\alpha^{-1}=\frac{1}{2}cn^{0,5}[/mm]
>
> Genauso würde ich den Term
>
> [mm]-\left(\beta\cdot{}Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
>
> behandeln..
>
> Das ist aber doch irgendwie Käse, da das [mm]PY[/mm] nicht
> verschwindet...
>
Den Faktor [mm]\bruch{n}{4}[/mm] muß man vorher natürlich herausziehen.
Dann steht da:
[mm]\bruch{n}{4}*\left( \ P^{2}+\bruch{4}{n}*\bruch{P*Y}{2}-\bruch{4}{n}*\bruch{cnP}{2} \ \right) -Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
Den Ausdruck
[mm]P^{2}+\bruch{4}{n}*\bruch{P*Y}{2}-\bruch{4}{n}*\bruch{cnP}{2}[/mm]
kannst Du jetzt als
[mm]\left( \ P+\beta*Y+\gamma \ \right)^{2}-\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2}[/mm]
schreiben.
Dann hast Du jetzt den Ausdruck
[mm]\bruch{n}{4}*\left( \ \left( \ P+\beta*Y+\gamma \ \right)^{2}-\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2} \ \right) -Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
[mm]= \bruch{n}{4}*\left( \ \left( \ P+\beta*Y+\gamma \ \right)^{2} \ \right)-\bruch{n}{4}*\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
Der verbleibende Ausdruck in Y
[mm]-\bruch{n}{4}*\left(\beta*Y+\gamma\right)^{2}-Y^{2}-cY+\frac{mY}{2n}[/mm]
ist dann entsprechend zu behandeln.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 So 26.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich komm nochmal auf deine urspruengliche Frage zurueck. du hattest ja festgestellt, dass im Inneren deines Gebietes kein Max vorliegt ( das hab ich nicht ueberprueft) dann oder auch wenn du im Inneren eines findest musst du immer den rand deines gebietes untersuchen, das sind bei dir ja dann eindimensionale Funktionen, du kannst also leicht das max auf dem Rand finden,
Gruss leduart
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