Maximum bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:13 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Stressfrei |
| Aufgabe | [mm]i_k(\varphi_u,t) = \bruch {\hat u}{\left| Z \right|}\cdot \left(\sin \left( w \cdot t+\varphi_u - \varphi_i \right) - \sin \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \cdot e^{-\bruch{t}{T}}\right)
[/mm]
Mit: [mm]w, \varphi_i, T, \hat u ,\left| Z \right|[/mm] =konstant
gesucht sind die Extrema der Funktion (hier: Maximum) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Community,
Ursprung des Problems liegt in der Elektrotechnik, aber bei mit scheitert es an der Mathematik.
Nach Recherchieren habe ich mich für ein Vorgehen nach ![[]](/images/popup.gif) diesem Satz entschieden.
Angewendet ergibt sich:
Für das Notwendige Kriterium:
Ableitung nach t und Null setzen:
(1)
[mm]\bruch{\partial i_k}{\partial t}= \bruch{\hat u}{\left| Z \right|} \cdot \left( w \cdot \cos (w \cdot t + \varphi_u -\varphi_i)+\bruch{1}{T} \cdot \sin(\varphi_u -\varphi_i)\cdot e^{\bruch{t}{T}} \right) = 0[/mm]
Ableitung nach [mm]\varphi_u[/mm] und Null setzen:
(2)
[mm]\bruch{\partial i_k}{\partial \varphi_u}= \bruch{\hat u}{\left| Z \right|} \cdot \left(\cos (w \cdot t + \varphi_u -\varphi_i)- \cos(\varphi_u -\varphi_i)\cdot e^{\bruch{t}{T}} \right) = 0[/mm]
Und dann bin ich mit meinem Latein ziemlich am Ende was die Bestimmung der Nullstellen angeht.
Rein vom 'hinsehen' behaupte ich mal, dass Gln. (2) für [mm]t=0 [/mm] und [mm]\varphi_u = \varphi_i[/mm] Null ist.
Aber um das mathematisch auszudrücken fehlen mir die Mittel.
Wie kann ich also die Nullstellen dieser beiden Funktionen bestimmen?
Gruß
J.S.
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Hallo Stressfrei,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]i_k(\varphi_u,t) = \bruch {\hat u}{\left| Z \right|}\cdot \left(\sin \left( w \cdot t+\varphi_u - \varphi_i \right) - \sin \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \cdot e^{-\bruch{t}{T}}\right)
[/mm]Mit:
> [mm]w, \varphi_i, T, \hat u ,\left| Z \right|[/mm] =konstantgesucht
> sind die Extrema der Funktion (hier: Maximum)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Community,
> Ursprung des Problems liegt in der Elektrotechnik, aber
> bei mit scheitert es an der Mathematik.
> Nach Recherchieren habe ich mich für ein Vorgehen nach
> diesem
> Satz entschieden.
> Angewendet ergibt sich:
>
> Für das Notwendige Kriterium:
>
> Ableitung nach t und Null setzen:
> (1)
>
> [mm]\bruch{\partial i_k}{\partial t}= \bruch{\hat u}{\left| Z \right|} \cdot \left( w \cdot \cos (w \cdot t + \varphi_u -\varphi_i)+\bruch{1}{T} \cdot \sin(\varphi_u -\varphi_i)\cdot e^{\bruch{t}{T}} \right) = 0[/mm]
>
> Ableitung nach [mm]\varphi_u[/mm] und Null setzen:
> (2)
>
> [mm]\bruch{\partial i_k}{\partial \varphi_u}= \bruch{\hat u}{\left| Z \right|} \cdot \left(\cos (w \cdot t + \varphi_u -\varphi_i)- \cos(\varphi_u -\varphi_i)\cdot e^{\bruch{t}{T}} \right) = 0[/mm]
>
> Und dann bin ich mit meinem Latein ziemlich am Ende was die
> Bestimmung der Nullstellen angeht.
> Rein vom 'hinsehen' behaupte ich mal, dass Gln. (2) für
> [mm]t=0[/mm] und [mm]\varphi_u = \varphi_i[/mm] Null ist.
>
> Aber um das mathematisch auszudrücken fehlen mir die
> Mittel.
>
> Wie kann ich also die Nullstellen dieser beiden Funktionen
> bestimmen?
>
Löse eine Gleichung nach [mm]\cos (w \cdot t + \varphi_u -\varphi_i)[/mm] auf
und setze dies in die andere ein.
Damit erhältst Du dann die Lösungen für [mm]\phi_u[/mm]
Um die Lösungen für t zu erhalten, setzt Du diese Lösung [mm]\phi_{u}[/mm] in eine der beiden Gleichungen ein.
Dies führt dann auf eine Gleichung in t, die nur numerisch zu lösen ist.
> Gruß
>
> J.S.
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Stressfrei |
Mach ich, Rückmeldung dann im Anschluss...
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| Aufgabe | Löse eine Gleichung nach $ [mm] \cos [/mm] (w [mm] \cdot [/mm] t + [mm] \varphi_u -\varphi_i) [/mm] $ auf
und setze dies in die andere ein.
Damit erhältst Du dann die Lösungen für $ [mm] \phi_u [/mm] $
Um die Lösungen für t zu erhalten, setzt Du diese Lösung $ [mm] \phi_{u} [/mm] $ in eine der beiden Gleichungen ein.
Dies führt dann auf eine Gleichung in t, die nur numerisch zu lösen ist. |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich gehe davon aus das $ [mm] \phi_u [/mm] $ = $ [mm] \varphi_u [/mm] $ ist.
Bin ich mit dem nachfolgenden Ergebnis für [mm] \varphi_u [/mm] noch richtig?
[mm] \varphi_u = arctan (-T \cdot w) + \varphi_i [/mm]
Gruss
J.S.
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Hallo Stressfrei,
> Löse eine Gleichung nach [mm]\cos (w \cdot t + \varphi_u -\varphi_i)[/mm]
> auf
> und setze dies in die andere ein.
>
> Damit erhältst Du dann die Lösungen für [mm]\phi_u[/mm]
>
> Um die Lösungen für t zu erhalten, setzt Du diese Lösung
> [mm]\phi_{u}[/mm] in eine der beiden Gleichungen ein.
>
> Dies führt dann auf eine Gleichung in t, die nur numerisch
> zu lösen ist.
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Ich gehe davon aus das [mm]\phi_u[/mm] = [mm]\varphi_u[/mm] ist.
>
> Bin ich mit dem nachfolgenden Ergebnis für [mm]\varphi_u[/mm]
> noch richtig?
>
> [mm]\varphi_u = arctan (-T \cdot w) + \varphi_i[/mm]
>
Bis auf die Periodiizität ist das Ergebnis ist richtig
> Gruss
>
> J.S.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Stressfrei |
Vielen Dank für die Unterstützung!
Bin begeistert von der schnellen Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo stressfrei,
!!
Bitte verstelle eine beantwortete Frage nicht unkommentiert wieder auf unbeantwortet. Wenn noch etwas unklar sein sollte, einfach eine entsprechende (konkrete) Rückfrage stellen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Stressfrei |
Sorry, war eine Fehlbedienung!
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