Maximum Likelihood Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:44 Mi 02.04.2008 | | Autor: | nuggie |
| Aufgabe | [mm] X_1 [/mm] .... [mm] X_n [/mm] sind stochastisch unabhängig und gleichverteilt :
mit folgender Dichte:
[mm] f_\alpha(x) [/mm] = [mm] 1_{[0,\inf]} [/mm] (x) * x * [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] e^{-\alpha * x}
[/mm]
Man berechne den Maximum Likelihood Schätzer |
Hi
leider habe ich keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss.
Man bildet ja das Produkt über alle Dichten.
Aber dann, wie genau rechne ich das :(
Ich verzweifel noch an diesen Maximum-Likelihood-Schätzern
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Mi 02.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin nuggie,
ich finde, hier ist zu wenig Input deinerseits. Im Internet findest du
einige Beispiele, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier. Bitte melde dich wieder mit konkreteren Fragen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 02.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Hm, zu wenig Input?
Das ist eine Klausuraufgabe gewesen. Genauso gestellt.
Ich schätze die meinen, man soll [mm] \alpha [/mm] schätzen.
Ich habe das mal so gemacht:
[mm] L(\alpha) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] e^{-\alpha*x_1} [/mm] * [mm] x_2 [/mm] * [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] e^{-\alpha*x_2} [/mm] * .... * [mm] x_n [/mm] * [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] e^{-\alpha*x_n}
[/mm]
= [mm] \alpha^{2n} [/mm] * [mm] x_1 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] * ... * [mm] x_n [/mm] * [mm] e^{-\alpha * \sum_{i=1}^n x_i}
[/mm]
Jetzt mittels Log-Likelihood:
= [mm] ln(\alpha^{2n}) [/mm] + [mm] ln(x_1 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] * .... * [mm] x_n) [/mm] - [mm] \alpha [/mm] * [mm] {\sum_{i=1}^n x_i}
[/mm]
= 2n * [mm] ln(\alpha) [/mm] + [mm] ln(x_1 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] * ... * [mm] x_n) [/mm] - [mm] \alpha [/mm] * [mm] \sum_{i=1}^n x_i
[/mm]
jetzt nach [mm] \alpha [/mm] ableiten und das Maximum bestimmen (=0)
= [mm] {2n}\over{\alpha} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^n x_i [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow {2n}\over{\alpha} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n x_i [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2n = [mm] \sum_{i=1}^n x_i [/mm] * [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] {2n}\over{x_1 + x_2 + .... + x_n}
[/mm]
=> Der Schätzer für [mm] \alpha [/mm] ist [mm] \begin{cases}
0, & \mbox{fuer} x < 0 \\
{2n}\over{x_1 + x_2 + .... + x_n}, & \mbox{fuer} x \ge 0
\end{cases}
[/mm]
Wäre das denn richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 02.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Habe vergessen es als Frage zu formulieren. Wäre es möglich, dass jemand meine Rechnung mal überprüfen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 02.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hm, zu wenig Input?
Genau. Damit meine ich, dass du uns deinen Loesungsweg vorstellst,
wie du es jetzt getan hast. Brav! 
> Das ist eine Klausuraufgabe gewesen. Genauso gestellt.
>
> Ich schätze die meinen, man soll [mm]\alpha[/mm] schätzen.
Ja.
>
> Ich habe das mal so gemacht:
>
> [mm]L(\alpha)[/mm] = [mm]x_1[/mm] * [mm]\alpha^2[/mm] * [mm]e^{-\alpha*x_1}[/mm] * [mm]x_2[/mm] *
> [mm]\alpha^2[/mm] * [mm]e^{-\alpha*x_2}[/mm] * .... * [mm]x_n[/mm] * [mm]\alpha^2[/mm] *
> [mm]e^{-\alpha*x_n}[/mm]
>
> = [mm]\alpha^{2n}[/mm] * [mm]x_1[/mm] * [mm]x_2[/mm] * ... * [mm]x_n[/mm] * [mm]e^{-\alpha * \sum_{i=1}^n x_i}[/mm]
>
> Jetzt mittels Log-Likelihood:
>
> = [mm]ln(\alpha^{2n})[/mm] + [mm]ln(x_1[/mm] * [mm]x_2[/mm] * .... * [mm]x_n)[/mm] - [mm]\alpha[/mm] *
> [mm]{\sum_{i=1}^n x_i}[/mm]
> = 2n * [mm]ln(\alpha)[/mm] + [mm]ln(x_1[/mm] * [mm]x_2[/mm] * ...
> * [mm]x_n)[/mm] - [mm]\alpha[/mm] * [mm]\sum_{i=1}^n x_i[/mm]
>
> jetzt nach [mm]\alpha[/mm] ableiten und das Maximum bestimmen (=0)
>
> = [mm]{2n}\over{\alpha}[/mm] - [mm]\sum_{i=1}^n x_i[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow {2n}\over{\alpha}[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^n x_i[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2n = [mm]\sum_{i=1}^n x_i[/mm] * [mm]\alpha[/mm]
> [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]{2n}\over{x_1 + x_2 + .... + x_n}[/mm]
Kleine Unschoenheit. Nenne den *Schaetzer* anders als den Modellparameter [mm] $\alpha$,
[/mm]
z.B.
[mm]\hat\alpha=\frac{2n}{x_1 + x_2 + .... + x_n}[/mm]
Aber sonst ist alles bestens.
>
>
> => Der Schätzer für [mm]\alpha[/mm] ist [mm]\begin{cases}
0, & \mbox{fuer} x < 0 \\
{2n}\over{x_1 + x_2 + .... + x_n}, & \mbox{fuer} x \ge 0
\end{cases}[/mm]
Aber was ist denn das noch? Das ergibt keinen (was ist $x$? Ah,
du meinst vermutlich [mm] $x_i>0$ [/mm] fuer mindestens ein $i$. Braucht man nicht, da
[mm] $P(X_i\le [/mm] 0)=0$ fuer alle $i$).
Den Schaetzer hast du oben angegeben. Das reicht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Do 03.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Aber folgendes Problem:
Ich habe hier eine Aufgabe, wo die das anders machen, ohne Ableitung und so.
Aufgabe:
Die Dichte einer Zufallsvariablen besitzt die Gestalt:
[mm] f(n)=\begin{cases} x \over c^2, & \mbox{für } 0 \leq x \leq c \sqrt{2} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
wobei die Konstante c nicht bekannt ist. Bestimmen Sie aus der Stichprobe [mm] (x_1, x_2,....,x_n) [/mm] die Maximum-Likelihood-Schätzung für den unbekannte Parameter c.
Und die lösen das so:
Likelihood-Funktion: L = [mm] {1\over {c^{2n}}} [/mm] * [mm] x_1 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] * .... * [mm] x_n
[/mm]
Wegen 0 [mm] \leq x_i \leq [/mm] c [mm] \sqrt{2} [/mm] , d.h. c [mm] \geq {x_i\over \sqrt{2}} [/mm] für alle i besitzt L das Maximum an der Stelle c = [mm] {1\over \sqrt{2}} [/mm] * [mm] x_{max}, [/mm] wobei [mm] x_{max} [/mm] der maximale Stichprobenwert ist.
Meine Frage:
hätte ich das genauso machen müssen, wegen der [mm] 1_{(0...\inf)} [/mm] (x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Do 03.04.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Meine Frage:
> hätte ich das genauso machen müssen, wegen der
> [mm]1_{(0...\inf)}[/mm] (x) ?
Nein, haettest du nicht, da im Gegensatz zu deinem zweiten Beispiel der
Traeger der Verteilung (die Menge der $x$-Werte, fuer die $f(x)>0$ ist) nicht
vom Parameter abhaengt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 03.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Also heisst das, wenn in der Dichte der Gleichverteilung gestanden hätte:
[mm] 1_{(0...c)} [/mm] (x) hätte ich das so machen können wie die im Buch? (bzw [mm] 1_{(0...\alpha)} [/mm] (x)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Do 03.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Also heisst das, wenn in der Dichte der Gleichverteilung
> gestanden hätte:
>
> [mm]1_{(0...c)}[/mm] (x) hätte ich das so machen können wie die im
> Buch? (bzw [mm]1_{(0...\alpha)}[/mm] (x)
Ja, das kann sein.
vg Luis
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