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| Aufgabe | Es seien [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit
[mm]P_\vartheta(X_i=1)=\vartheta \text{ und } P_\vartheta(X_i=-1)=1-\vartheta[/mm]
für [mm] $\vartheta \in [/mm] [0,1], i [mm] =1,\hdots,n$
[/mm]
[mm] \paragraph{(a)} [/mm] Geben Sie die Likelihood-Funktion [mm] $L(\vartheta|x)$ [/mm] an, [mm] $x=(x_1,\hdots, x_n) \in \lbrace [/mm] -1,1 [mm] \rbrace^n$.
[/mm]
[mm] \paragraph{(b)}Bestimmen [/mm] Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer [mm] $\overline{\vartheta}(x)$ [/mm] für [mm] $\vartheta$
[/mm]
[mm] \paragraph{(c)} [/mm] Ist [mm] $\overline{\vartheta}$ [/mm] erwartungstreu für [mm] $\vartheta$?
[/mm]
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Hallo! Probiere mich gerade an obiger Aufgabe und bin für konstruktive Kritik dankbar.
[mm] \paragraph{a)}
[/mm]
Sei [mm] $s_n=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}x_i [/mm] +1$
Die Likelihood-Funktion ist gegeben durch
[mm] L(\theta|x)= \theta^{s_n} (1-\theta)^{n-s_n} [/mm]
[mm] \paragraph{b)}
[/mm]
Übergang zur log-Likelihood Funktion
[mm] ln (L(\theta|x))=ln(\theta^{s_n} (1-\theta)^{n-s_n})=s_n ln \theta + (n-s_n) ln(1-\theta) [/mm]
Bestimmung des Maximums über Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung:
[mm] \begin{matrix}
ln'(L(\theta|x))=0\\
\Leftrightarrow \frac{s_n}{\theta}-\frac{n-s_n}{1-\theta}=0\\
\theta = \frac{s_n}{n}
\end{matrix}
[/mm]
Der Maximum Likelihood Schätzer [mm] $\overline{\theta}=\frac{s_n}{n}$
[/mm]
[mm] \paragraph{c)} [/mm] Bisher keinen Plan ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mo 06.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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