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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:02 Di 15.01.2008 | | Autor: | tillll |
| Aufgabe | | Siehe hochgeladene Datei. |
Leider ist mir diese Aufgabe zu theoretisch mir fehlen die Zahlen;)
Könntet ihr mir da weiterhelfen?
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ich sag mal was zur a).
Deine Poisson-Verteilung ist [mm] $f(x;\mu) [/mm] = [mm] \bruch{\mu^x}{x!}*e^{-\mu}$ [/mm] (mit x = 0,1,2,...).
Dein Parameter [mm] \theta [/mm] ist gleich dem Mittelwert [mm] \mu.
[/mm]
Die Likelihood-Funktion wäre dann
$L = [mm] L(\mu) [/mm] = [mm] f(x_1;\mu)*f(x_2;\mu)*...*f(x_n;\mu)$
[/mm]
[mm] $L(\mu) [/mm] = [mm] \left(\bruch{\mu^{x_1}}{x_1!}*e^{-\mu}\right)*\left(\bruch{\mu^{x_2}}{x_2!}*e^{-\mu}\right)*...*\left(\bruch{\mu^{x_n}}{x_n!}*e^{-\mu}\right)$
[/mm]
$= [mm] \left(\bruch{\mu^{x_1}}{x_1!}*\bruch{\mu^{x_2}}{x_2!}*...*\bruch{\mu^{x_n}}{x_n!}\right)*\underbrace{e^{-\mu}*e^{-\mu}*...*e^{-\mu}}_{n-mal}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\mu^{x_1+x_2+...+x_n}}{x_1!*x_2!*...*x_n!}*e^{-\mu*n}$
[/mm]
Durch Logarithmieren wird daraus:
[mm] $\tilde [/mm] L=ln(L) = [mm] ln\left[\bruch{\mu^{x_1+x_2+...+x_n}}{x_1!*x_2!*...*x_n!}*e^{-\mu*n} \right]$
[/mm]
[mm] $\tilde [/mm] L= [mm] ln(\mu^{x_1+x_2+...+x_n})-ln(x_1!*x_2!*...*x_n!)-\mu*n$
[/mm]
[mm] $\tilde [/mm] L = [mm] ln(\mu)*(x_1+x_2+...+x_n)-ln(x_1!*x_2!*...*x_n!)-\mu*n$
[/mm]
Jetzt wird die partielle Ableitung von ln(L) nach [mm] \mu [/mm] gleich Null gesetzt:
[mm] $\bruch{\partial \tilde L}{\partial \mu}=(x_1+x_2+...+x_n)*\bruch{1}{\mu}-n=0 [/mm] $
Daraus erhält man
[mm] $\mu [/mm] = [mm] \bruch{(x_1+x_2+...+x_n)}{n} [/mm] = [mm] \bar [/mm] x$
Weitere mit der Maximum-Likelihood-Methode behandelte Wahrscheinlichkeitsfunktionen findest Du im "Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Bd.3".
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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