Maximierung des Volumens < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 09.05.2006 | | Autor: | spliffi |
| Aufgabe | Es wird eine Trommel von 6000 cm2 konstruiert.
Wie sind der Radus und die Hoehe zu waehlen,damit das Volumen maximal wird? |
hab die oberfl.funktion mit O= [mm] \bruch{\pi4 r^{2}}{4} [/mm] +2 [mm] \pi [/mm] rh = 6000 bestimmt.
dann nach h umgestellt... h = [mm] \bruch{6000-\pi r^{2}}{2\pi r}
[/mm]
in V = [mm] \bruch{\pi(2r) ^{2}}{4} [/mm] * h eingesetzt
V = [mm] \bruch{\pi(2r) ^{2}}{4} [/mm] * [mm] \bruch{6000-\pi r^{2}}{2\pi r}
[/mm]
1. ableitung
V' = [mm] 2\pir [/mm] * [mm] \bruch{6000-\pi}{2\pi}
[/mm]
Hab ich mich schon hier vertan??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 09.05.2006 | | Autor: | spliffi |
danke fuer die schnelle antwort.
hatte ein problem mit der formelaufstellung hier.habs mal weiter versucht...
$ V(r) \ = \ [mm] \pi\cdot{}r^2\cdot{}\bruch{6000-\pi\cdot{}r^2}{2\pi\cdot{}r} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}r\cdot{}\left(6000-\pi\cdot{}r^2\right) [/mm] \ = \ [mm] 3000\cdot{}r-\bruch{\pi}{2}\cdot{}r^3 [/mm] $
nun die ableitung ist V'(r) = - [mm] \bruch{3\pi}{2}\ r^{2}+3000
[/mm]
die hinr. bedingung ist V'(r) = 0
0 = - [mm] \bruch{3\pi}{2}\ r^{2}+3000
[/mm]
r = [mm] \wurzel{ \bruch{2000}{\pi}}
[/mm]
r = 25,23cm
notw. bedingung V'' [mm] \not= [/mm] 0
V''(r) = [mm] -3\pi [/mm] r
V''(25,23) = -237,8 <0 [mm] \Rightarrow [/mm] maximum
h(r) = [mm] \bruch{6000-\pi r^{2}}{2\pi r}
[/mm]
h(25,23) = 33,8cm
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Hallo spliffi!
Bis auf den allerletzten Wert alles richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Nur bei der Höhe [mm] $h_E$ [/mm] habe ich einen anderen Wert heraus:
[mm] $h_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{2000}{\pi}} [/mm] \ = \ [mm] r_E$
[/mm]
Zudem musst Du bestimmt auch noch das maximale Volumen [mm] $V_{\max}$ [/mm] angeben ...
Gruß vom
Roadrunner
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, diese Ableitung stimmt nicht. Wenn Du nicht erst wie oben zusammenfasst, hättest Du hier die 
Produktregel