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Hallo,
folgende Aufgabe:
Gegeben seien die Funktionen [mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] x^a [/mm] * [mm] e^{-x^2} [/mm] für x > 0 und dem Parameter a [mm] \in \IR\backslash\{0\}.
[/mm]
(1) Für welche Werte von a besitzt [mm] f_{a} [/mm] ein Maximum [mm] x_a [/mm] > 0?
(2) Berechnen Sie ggf. [mm] x_a [/mm] und m(a) := [mm] f(x_a). [/mm] Ist das Maximum global?
Okay - hier mein Versuch:
Zu (1): Meine Idee war zunächst alle a zu ermitteln, für die [mm] f_a [/mm] Extrema hat. Das sind ja genau die Stellen, an der die erste Ableitung von [mm] f_a [/mm] gleich 0 ist. Also:
[mm] (f_{a})'(x) [/mm] = [mm] x^a [/mm] (-2x) [mm] e^{-x^2} [/mm] + [mm] ax^{a-1} e^{-x^2} [/mm] = [mm] x^a e^{-x^2} [/mm] (-2x + [mm] \frac{a}{x})
[/mm]
Nun möchte ich wissen für welche Werte von x > 0 (ist der Fall, n.V) in Abhängigkeit von a überhaupt Extrema existieren. [mm] ((f_{a})'(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] einer der Faktoren 0 ist)
Setze: [mm] b_{a}(x) [/mm] := [mm] x^a e^{-x^2} [/mm] und [mm] c_{a}(x) [/mm] := -2x + [mm] \frac{a}{x}
[/mm]
Also: [mm] (f_{a})'(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw b_{a}(x) [/mm] = 0 oder [mm] c_{a}(x) [/mm] = 0.
1. Fall: [mm] c_{a}(x) [/mm] = 0
-2x + [mm] \frac{a}{x} [/mm] = 0 (multipliziere mit x > 0)
[mm] -2x^2 [/mm] + a = 0 (abc-Formel anwenden)
[mm] x_a [/mm] = [mm] \frac{\pm \wurzel{0^2 - 4 (-2) a}}{-4} [/mm]
Das ist genau dann lösbar, falls der Ausdruck unter der Wurzel [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Also: [mm] 0^2 [/mm] - 4 (-2) a [mm] \ge [/mm] 0
= 8a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] a [mm] \ge [/mm] 0.
Also hat [mm] f_{a}(x) [/mm] für alle [mm] x_a [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{8a}}{-4} [/mm] Extrema.
2. Fall: [mm] b_{a}(x) [/mm] = 0. Da habe ich die starke Vermutung, dass [mm] b_{a}(x) [/mm] nie 0 wird. Aber wie ich das zeigen soll ist mir noch ein Rätsel.
Aber gefragt war ja eh "Für welche Werte von a besitzt [mm] f_{a} [/mm] ein Maximum [mm] x_a [/mm] > 0". Nun das Problem: All meine Extreme sind negativ. Also ist sicher auch keines meiner Extrema, welches ein Maximum ist größer 0. Und nun? Wo ist der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 30.01.2008 | | Autor: | abakus |
Überprüfe die Schreibweise deiner Funktionsgleichung und/oder deine erste Ableitung. Es passt nicht zusammen. In der Gleichung steht einfach eine Differenz, wieso verwendest du dann die Produktregel?
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Hallo,
sorry. Ich hatte mich vertippt. Das "-" war zu viel...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 30.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> Gegeben seien die Funktionen [mm]f_{a}(x)[/mm] = [mm]x^a[/mm] * [mm]e^{-x^2}[/mm] für
> x > 0 und dem Parameter a [mm]\in \IR\backslash\{0\}.[/mm]
>
> (1) Für welche Werte von a besitzt [mm]f_{a}[/mm] ein Maximum [mm]x_a[/mm] >
> 0?
> (2) Berechnen Sie ggf. [mm]x_a[/mm] und m(a) := [mm]f(x_a).[/mm] Ist das
> Maximum global?
>
> Okay - hier mein Versuch:
>
> Zu (1): Meine Idee war zunächst alle a zu ermitteln, für
> die [mm]f_a[/mm] Extrema hat. Das sind ja genau die Stellen, an der
> die erste Ableitung von [mm]f_a[/mm] gleich 0 ist. Also:
>
> [mm](f_{a})'(x)[/mm] = [mm]x^a[/mm] (-2x) [mm]e^{-x^2}[/mm] + [mm]ax^{a-1} e^{-x^2}[/mm] = [mm]x^a e^{-x^2}[/mm]
> (-2x + [mm]\frac{a}{x})[/mm]
>
> Nun möchte ich wissen für welche Werte von x > 0 (ist der
> Fall, n.V) in Abhängigkeit von a überhaupt Extrema
> existieren. [mm]((f_{a})'(x)[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] einer der Faktoren 0
> ist)
>
> Setze: [mm]b_{a}(x)[/mm] := [mm]x^a e^{-x^2}[/mm] und [mm]c_{a}(x)[/mm] := -2x +
> [mm]\frac{a}{x}[/mm]
>
> Also: [mm](f_{a})'(x)[/mm] = 0 [mm]\gdw b_{a}(x)[/mm] = 0 oder [mm]c_{a}(x)[/mm] = 0.
>
> 1. Fall: [mm]c_{a}(x)[/mm] = 0
> -2x + [mm]\frac{a}{x}[/mm] = 0 (multipliziere mit x > 0)
> [mm]-2x^2[/mm] + a = 0 (abc-Formel anwenden)doch einfach um:
Was treibst denn du hier für Klimmzüge?
Stelle doch einfach um:
[mm] 2x^2=a, [/mm]
[mm] x^2=\bruch{a}{2}, [/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{a}{2}}.
[/mm]
Das gibt für a>0 also ZWEI Lösungen. Eine ist dir durch die Lappen gegangen.
> [mm]x_a[/mm] = [mm]\frac{\pm \wurzel{0^2 - 4 (-2) a}}{-4}[/mm]
>
> Das ist genau dann lösbar, falls der Ausdruck unter der
> Wurzel [mm]\ge[/mm] 0 ist.
> Also: [mm]0^2[/mm] - 4 (-2) a [mm]\ge[/mm] 0
> = 8a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] a [mm]\ge[/mm] 0.
>
> Also hat [mm]f_{a}(x)[/mm] für alle [mm]x_a[/mm] = [mm]\frac{\wurzel{8a}}{-4}[/mm]
> Extrema.
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> 2. Fall: [mm]b_{a}(x)[/mm] = 0. Da habe ich die starke Vermutung,
> dass [mm]b_{a}(x)[/mm] nie 0 wird. Aber wie ich das zeigen soll ist
> mir noch ein Rätsel.
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> Aber gefragt war ja eh "Für welche Werte von a besitzt
> [mm]f_{a}[/mm] ein Maximum [mm]x_a[/mm] > 0". Nun das Problem: All meine
> Extreme sind negativ. Also ist sicher auch keines meiner
> Extrema, welches ein Maximum ist größer 0. Und nun? Wo ist
> der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast sehr unglücklich dein Ergebnis in Faktoren zerlegt!
besser wäre
[mm] f'(x)=e^{-x^2}*(ax^{a-1}-2x^{a+1})=e^{-x^2}*x^{a-1}*(a-2x^{2})
[/mm]
1. [mm] e^{irgendwas} [/mm] ist nie 0.
2. [mm] x^{a-1}=0 [/mm] für x=0 aber nur wenn a-1>0
[mm] 3.a-2x^2=0 [/mm] das hattest du beinahe [mm] x^2=-- [/mm] da gibts immer ein x>0, jetzt ist nur noch die Frage obs auch ein Max ist für alle die möglichen a.
Gruss leduart
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