Maximales Volumen eines Kegels < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Chloe |
| Aufgabe | | für den bau einer kegelförmigen tüte mit möglichst großem fassungsvermögen wird aus einem quadratischem karton mit 1m seitenlänge ein kreisausschnitt geschnitten und zum kegel geformt. wie würden sie den karton ausschneiden? geben sie den mittelpunktswinkel an! |
hi
also ich hab schon einige ansätze ausprobiert, aber irgendwie krieg ichs trotzdem nicht hin...
ich weiß dass die zielfunktion
[mm] V(h,r)=\bruch{1}{3}*\pi*r^2*h [/mm]
sein müsste und ich habe mir auch schon ein paar mögliche nebenbedingungen überlegt:
[mm] h^2+r^2 [/mm] = [mm] s^2
[/mm]
[mm] U=2*\pi*r
[/mm]
[mm] M=\pi*r*s
[/mm]
die mir aber leider nichts bringen, weil ich dann statt der einen unbekannten variable, die ich ja ersetzen will, eine neue dazubekomme. könnt ihr mir vielleicht einen tipp geben, welche nebenbedingung mir da weiterhelfen könnte??
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ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 03.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) diese Skizze an.
Es sollte klar sein, dass in deinem Fall s=0,5 sein wird, wenn du das Quadrat um diesen Kreissektor "herumlegst".
Jetzt gilt auch:
[mm] \bruch{\alpha}{360}=\bruch{r}{s}
[/mm]
Nutzt du nun den Satz des Pythagoras gilt:
s²=h²+r², also hier: (s=0,5)
[mm] 0,25=h²+r²\Rightarrow\wurzel{0,25-h²}=r
[/mm]
Für das Volumen gilt jetzt:
[mm] V=\bruch{\pi*r²*h}{3}
[/mm]
Setzt man nun [mm] \wurzel{0,25-h²}=r [/mm] ein, ergibt sich:
[mm] V(h)=\bruch{\pi*r²*h}{3}=\bruch{\pi*(\wurzel{0,25-h²})²*h}{3}=\bruch{\pi*(\bruch{1}{4}-h²)*h}{3}=\bruch{\pi}{3}(\bruch{1}{4}h-h³)
[/mm]
Hieraus bestimmst du nun das Maximum, danach r (mit der oben genannten Formel) und wenn du r hast, kannst du nun auch den Winkel [mm] \alpha [/mm] bestimmen, den du ausschneiden musst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Chloe |
vielen dank erst mal für deine schnelle antwort...
ich hab die aufgabe mal ausgerechnet und bin mir aber unsicher ob ich das richtig ausgerechnet habe weil die zahlen die ich rausbekomme sich so komisch anhören...vielleicht kannst du mir sagen ob ich einen fehler gemacht habe
h = [mm] \wurzel{1/12}
[/mm]
r = 0.408
V = 0.05 [mm] m^3
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 293,76°
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Hallo und Glückwunsch, das sind die Ergebnisse, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 04.03.2008 | | Autor: | Chloe |
hi
vielen dank fürs überprüfen meiner ergebnisse :)
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